Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 196 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

196 Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
2.
◦
ˆ
f = F [f] — непрерывна на (−∞, +∞),
ˆ
f(y) → 0 при y → ±∞,
3.
◦
ˆ
f — ограничена на (−∞, +∞).
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1
◦
. Линейность преобразования
Фурье следует из линейности несобственного интеграла.
2
◦
следует из леммы 27.1.2, т. к.
√
2π
ˆ
f(y) = a(y) + ib(y).
3
◦
является следствием 2
◦
или устанавливается простой
оценкой
sup
−∞<y<+∞
|
ˆ
f(y)| 6
1
√
2π
Z
+∞
−∞
|f(x)|dx < ∞.
Изучим преобразование Фурье производных и производные
преобразования Фурье.
Теорема 2. Пусть функция f абсолютно интегрируема
на (−∞, +∞) и f
0
непрерывна и абсолютно интегрируема на
(−∞, +∞). Тогда
F [f
0
](y) = (iy)F [f](y), y ∈ (−∞, +∞).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим функцию f в виде
f(x) = f(0) +
Z
x
0
f
0
(t) dt.
Из сходимости интеграла
R
+∞
0
f
0
(t) dt следует существова-
ние пределов lim
x→+∞
f(x), lim
x→−∞
f(x). Они не могут быть от-
личными от нуля в силу сходимости интеграла
R
∞
−∞
|f(x)|dx.
С помощью интегрирования по частям получаем
F [f
0
](y) =
1
√
2π
Z
∞
−∞
f
0
(x)e
−ixy
dx =
=
1
√
2π
f(x)e
−ixy
+∞
x=−∞
+
iy
√
2π
Z
∞
−∞
f(x)e
−ixy
dy = iyF [f ](y).
196        Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

      2.◦ fˆ = F [f ] — непрерывна на (−∞, +∞),
                           fˆ(y) → 0    при y → ±∞,
   3.◦ fˆ — ограничена на (−∞, +∞).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦ . Линейность преобразования
Фурье следует из линейности несобственного интеграла.
                                        √
   2◦ следует из леммы 27.1.2, т. к. 2π fˆ(y) = a(y) + ib(y).
   3◦ является следствием 2◦ или устанавливается простой
оценкой
                                     Z +∞
                                 1
              sup     |fˆ(y)| 6 √         |f (x)| dx < ∞.
          −∞

Страницы