Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 198 стр.

               Глава 28
         ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

        § 28.1. Пространства D, D 0 основных
                и обобщенных функций
    Понятие обобщенной функции обобщает классическое по-
нятие функции и дает возможность выразить в математиче-
ской форме такие понятия, как плотность материальной точки,
плотность точечного заряда, интенсивность мгновенного то-
чечного источника и т. п. Реально можно измерить лишь сред-
нюю плотность вещества в данной точке. Обобщенная функ-
ция определяется своими средними значениями в окрестности
каждой точки. Возьмем, например, стержень, совпадающий
с отрезком [−1, 1] действительной прямой. Пусть требуется
охарактеризовать его плотность, создаваемую материальной
точкой массы 1, расположенной в точке x = 0. Будем считать
сначала,
h         i что эта масса равномерно распределена на отрезке
    ε   ε
  − 2 , 2 , где ε > 0 мало. Тогда плотность стержня δε (x) зада-
ется формулой
                              (1            ε
                               ε при |x| 6 2 ,
                     δε (x) =
                               0 при |x| > 2ε .
Как видим, масса стержня
                      Z ε/2
                  m=        δε (x) dx = 1.
                          −ε/2

   Перейдем к пределу при ε → 0. Тогда получим «функцию»
                               (
                                +∞ при x = 0,
           δ(x) B lim δε (x) =
                  ε→0           0   при x 6= 0.
В то же время хотелось бы, чтобы
                      Z 1
                          δ(x) dx = 1.
                         −1