Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 200 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

200 Глава 28. Обобщенные функции
Носителем функции f: R → R называется замыкание мно-
жества точек x ∈ R, в которых f (x) 6= 0. Он обозначается
символом supp f.
В силу данных определений функция f : R → R финитна
тогда и только тогда, когда ее носитель компактен (т. е. явля-
ется замкнутым ограниченным множеством).
Символом C
∞
0
обозначается множество бесконечно диффе-
ренцируемых финитных функций.
Оно является линейным пространством при естественном
определении операций сложения функций и умножения функ-
ции на число.
Введем в C
∞
0
понятие сходимости.
Определение 1. Последовательность {ϕ
k
}
∞
k=1
функций
ϕ
k
∈ C
∞
0
называется сходящейся к функции ϕ ∈ C
∞
0
, если
1.
◦
∃[a, b]: supp ϕ
k
⊂ [a, b] ∀k ∈ N,
2.
◦
sup |ϕ
(s)
k
− ϕ
(s)
| → 0 при k → ∞, ∀s ∈ N
0
.
Определение 2. Линейное пространство C
∞
0
с введенным
определением 1 понятием сходимости называется простран-
ством D основных функций.
Пусть f — функционал на пространстве D основных функ-
ций. Значение f на ϕ ∈ D обозначается через (f, ϕ).
Определение 3. Функционал f на D называется линей-
ным, если
(f, αϕ + βψ) = α(f, ϕ) + β(f, ψ) ∀ϕ, ψ ∈ D, ∀α, β ∈ R.
Определение 4. Функционал f на D называется непре-
рывным, если при k → ∞ из
ϕ
k
→ ϕ в D следует (f, ϕ
k
) → (f, ϕ).
Определение 5. Всякий линейный непрерывный функци-
онал на D называется обобщенной функцией.
Определение 6. Пространством обобщенных функций D
0
называется множество (линейное пространство) всех обобщен-
ных функций с введенными в нем опе рациями сложения, умно-
жения на число и сходимостью по следующим правилам:
200                Глава 28. Обобщенные функции

   Носителем функции f : R → R называется замыкание мно-
жества точек x ∈ R, в которых f (x) 6= 0. Он обозначается
символом supp f .
   В силу данных определений функция f : R → R финитна
тогда и только тогда, когда ее носитель компактен (т. е. явля-
ется замкнутым ограниченным множеством).
   Символом C0∞ обозначается множество бесконечно диффе-
ренцируемых финитных функций.
   Оно является линейным пространством при естественном
определении операций сложения функций и умножения функ-
ции на число.
   Введем в C0∞ понятие сходимости.
   Определение 1. Последовательность {ϕk }∞       k=1 функций
ϕk ∈ C0∞ называется сходящейся к функции ϕ ∈ C0∞ , если
   1.◦ ∃ [a, b]: supp ϕk ⊂ [a, b] ∀ k ∈ N,
               (s)
   2.◦ sup |ϕk − ϕ(s) | → 0 при k → ∞, ∀ s ∈ N0 .
   Определение 2. Линейное пространство C0∞ с введенным
определением 1 понятием сходимости называется простран-
ством D основных функций.
   Пусть f — функционал на пространстве D основных функ-
ций. Значение f на ϕ ∈ D обозначается через (f, ϕ).
  Определение 3. Функционал f на D называется линей-
ным, если
  (f, αϕ + βψ) = α(f, ϕ) + β(f, ψ) ∀ ϕ, ψ ∈ D,     ∀ α, β ∈ R.
   Определение 4. Функционал f на D называется непре-
рывным, если при k → ∞ из
          ϕk → ϕ    в   D   следует (f, ϕk ) → (f, ϕ).
   Определение 5. Всякий линейный непрерывный функци-
онал на D называется обобщенной функцией.
   Определение 6. Пространством обобщенных функций D0
называется множество (линейное пространство) всех обобщен-
ных функций с введенными в нем операциями сложения, умно-
жения на число и сходимостью по следующим правилам:

Страницы