Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§28.1. Пространства D, D
0
основных и обобщенных функций 201
1.
◦
(αf + βg, ϕ) = α(f, ϕ) + β(g, ϕ), f, g ∈ D
0
, α, β ∈ R,
ϕ ∈ D;
2.
◦
последовательность {f
k
}
∞
k=1
, f
k
∈ D
0
∀k ∈ N, называ-
ется сходящейся в D
0
к f ∈ D
0
при k → ∞, если
(f
k
, ϕ) → (f, ϕ) при k → ∞ ∀ϕ ∈ D.
Сходимость в D
0
записывается в виде
f
k
→ f в D
0
при k → ∞.
Приведем некоторые примеры.
Пример 1. При ∀a > 0 функция
ϕ(x) =
e
a
2
x
2
−a
2
при |x| < a,
0 при |x| > 0
∈ C
∞
0
(ср. с примером функции ϕ из начала §17.3).
Этот пример показывает, что C
∞
0
содержит функции, от-
личные от тождественного нуля.
Пример 2. Пусть функция f : R → R локально абсо-
лютно интегрируема (т.е абсолютно интегрируема на каждом
отрезке [a, b] ⊂ (−∞, +∞)). Тогда функционал, определенный
равенством
Z
+∞
−∞
f(x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ D, (1)
является обобщенной функцией, т. е. элементом D
0
.
Определение 7. Обобщенная функция называется регу-
лярной, если ее значения на ∀ϕ ∈ D представимы в виде (1) с
некоторой локально абсолютно интегрируемой функцией f .
В противном случае обобщенная функция называется син-
гулярной.
Регулярная обобщенная функция, определяемая форму-
лой (1), обозначается тем же символом f и отождествляется с
локально абсолютно интегрируемой функцией f . Можно ска-
зать, таким образом, что D
0
содержит все локально абсолютно
интегрируемые функции.
 § 28.1. Пространства D, D0 основных и обобщенных функций 201

   1.◦ (αf + βg, ϕ) = α(f, ϕ) + β(g, ϕ), f, g ∈ D0 , α, β ∈ R,
       ϕ ∈ D;
   2.◦ последовательность {fk }∞           0
                               k=1 , fk ∈ D ∀ k ∈ N, называ-
                           0         0
       ется сходящейся в D к f ∈ D при k → ∞, если
              (fk , ϕ) → (f, ϕ) при k → ∞         ∀ ϕ ∈ D.
   Сходимость в D0 записывается в виде
               fk → f     в D0    при k → ∞.

   Приведем некоторые примеры.
   Пример 1. При ∀ a > 0 функция
                      2
                   x2a−a
           ϕ(x) =   e    2
                           при |x| < a, ∈ C ∞
                                           0
                  0       при |x| > 0

(ср. с примером функции ϕ из начала § 17.3).
    Этот пример показывает, что C0∞ содержит функции, от-
личные от тождественного нуля.
    Пример 2.        Пусть функция f : R → R локально абсо-
лютно интегрируема (т.е абсолютно интегрируема на каждом
отрезке [a, b] ⊂ (−∞, +∞)). Тогда функционал, определенный
равенством
                   +∞
                   Z
                        f (x)ϕ(x) dx   ∀ ϕ ∈ D,              (1)
                  −∞
является обобщенной функцией, т. е. элементом D0 .
   Определение 7. Обобщенная функция называется регу-
лярной, если ее значения на ∀ ϕ ∈ D представимы в виде (1) с
некоторой локально абсолютно интегрируемой функцией f .
   В противном случае обобщенная функция называется син-
гулярной.
   Регулярная обобщенная функция, определяемая форму-
лой (1), обозначается тем же символом f и отождествляется с
локально абсолютно интегрируемой функцией f . Можно ска-
зать, таким образом, что D0 содержит все локально абсолютно
интегрируемые функции.

Страницы