Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§28.2. Дифференцирование обобщенных функций 203
т. е. (в соответствии с определением сходимости в D
0
)
Z
∞
−∞
f
k
(x)ϕ(x) dx → ϕ(0) при k → ∞ ∀ϕ ∈ D.
§ 28.2. Дифференцирование обобщенных функций
Если функция f непрерывно дифференцируема на
(−∞, +∞), то для ∀ϕ ∈ D
Z
+∞
−∞
f
0
(x)ϕ(x) dx = −
Z
∞
−∞
f(x)ϕ
0
(x) dx.
Это соотношение делает естественным следующее
Определение 1. Пусть f ∈ D
0
. Обобщенная функция f
0
,
задаваемая формулой
(f
0
, ϕ) B −(f, ϕ
0
) ∀ϕ ∈ D, (1)
называется производной обобщенной функции f.
Читателю предлагается проверить, что функционал, стоя-
щий в правой части (1), является линейным и непрерывным
на D, т. е. обобщенной функцией.
Переход от обобщенной функции к ее производной называ-
ется операцией дифференцирования.
Теорема 1. Справедливы следующие свойства операции
дифференцирования:
1.
◦
линейность, т. е.
(αf + βg)
0
= αf
0
+ βg
0
∀f, g ∈ D
0
, ∀α, β ∈ R;
2.
◦
непрерывность, т. е. при k → ∞
f
k
→ f в D
0
⇒ f
0
k
→ f
0
в D
0
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1
◦
. Для ∀ϕ ∈ D имеем
((αf + βg)
0
, ϕ) = −(αf + βg, ϕ
0
) = −α(f, ϕ
0
) − β(g, ϕ
0
) =
= α(f
0
, ϕ) + β(g
0
, ϕ) = (αf
0
+ βg
0
, ϕ).
2
◦
. Пусть при k → ∞ f
k
→ f в D
0
. Тогда для ∀ϕ ∈ D
(f
0
k
, ϕ) = −(f
k
, ϕ
0
) → −(f, ϕ
0
) = (f
0
, ϕ).
          § 28.2. Дифференцирование обобщенных функций                     203

т. е. (в соответствии с определением сходимости в D0 )
        Z ∞
            fk (x)ϕ(x) dx → ϕ(0) при k → ∞ ∀ ϕ ∈ D.
          −∞



§ 28.2. Дифференцирование обобщенных функций
  Если функция f непрерывно дифференцируема                                 на
(−∞, +∞), то для ∀ ϕ ∈ D
         Z +∞                   Z ∞
                0
               f (x)ϕ(x) dx = −     f (x)ϕ0 (x) dx.
                −∞                          −∞
   Это соотношение делает естественным следующее
   Определение 1. Пусть f ∈ D0 . Обобщенная функция f 0 ,
задаваемая формулой
                      (f 0 , ϕ) B −(f, ϕ0 ) ∀ ϕ ∈ D,                       (1)
называется производной обобщенной функции f .
   Читателю предлагается проверить, что функционал, стоя-
щий в правой части (1), является линейным и непрерывным
на D, т. е. обобщенной функцией.
   Переход от обобщенной функции к ее производной называ-
ется операцией дифференцирования.
   Теорема 1. Справедливы следующие свойства операции
дифференцирования:
   1.◦ линейность, т. е.
               (αf + βg)0 = αf 0 + βg 0     ∀ f, g ∈ D0 ,    ∀ α, β ∈ R;
    2.◦   непрерывность, т. е. при k → ∞
                       fk → f       в    D0 ⇒ fk0 → f 0 в D0 .
   Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦ . Для ∀ ϕ ∈ D имеем
((αf + βg)0 , ϕ) = −(αf + βg, ϕ0 ) = −α(f, ϕ0 ) − β(g, ϕ0 ) =
                                 = α(f 0 , ϕ) + β(g 0 , ϕ) = (αf 0 + βg 0 , ϕ).
2◦ . Пусть при k → ∞ fk → f в D0 . Тогда для ∀ ϕ ∈ D
                (fk0 , ϕ) = −(fk , ϕ0 ) → −(f, ϕ0 ) = (f 0 , ϕ).

Страницы