Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 205 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§28.3. Пространства S, S
0
основных и обобщенных функций 205
Из непрерывности операции дифференцирования (свойство
2
◦
теоремы 1) следует, что всякий сходящийся в D
0
ряд обоб-
щенных функций (3) можно почленно дифференцировать:
∞
X
k=1
f
0
k
= f
0
,
и полученный ряд также будет сходиться в D
0
.
Определение 4. Пусть f ∈ D
0
и функция λ бесконечно
дифференцируема на (−∞, +∞). Произведением λf называ-
ется обобщенная функция, задаваемая формулой
(λf, ϕ) B (f, λϕ) ∀ϕ ∈ C
∞
0
.
Упражнение 2. Показать, что λf — линейный непрерыв-
ный функционал на D, т. е. обобщенная функция из D
0
.
§ 28.3. Пространства S, S
0
основных и
обобщенных функций
Наряду с парой D, D
0
основных и обобщенных функций
важнейшей в математическом анализе и теории дифферен-
циальных уравнений в частных производных является пара
пространств S, S
0
(называемых пространствами Л. Шварца)
основных и обобщенных функций. Эти пространства замеча-
тельны тем, что они инвариантны относительно преобразова-
ния Фурье:
ϕ ∈ S ⇒ F [ϕ] ∈ S, f ∈ S
0
⇒ F [f] ∈ S
0
.
Определение 1. Линейным пространством S называется
множество комплекснозначных бесконечно дифференцируемых
на (−∞, +∞) функций ϕ, для которых конечна каждая из по-
лунорм
kϕk
n,m
B sup
−∞<x<+∞
|x
n
ϕ
(m)
(x)| < ∞ ∀n, m ∈ N
0
, (1)
при естественном определении сложения функций и умножения
функции на комплексное число.
     § 28.3. Пространства S, S 0 основных и обобщенных функций    205

   Из непрерывности операции дифференцирования (свойство
2◦теоремы 1) следует, что всякий сходящийся в D0 ряд обоб-
щенных функций (3) можно почленно дифференцировать:
                             ∞
                             X
                                   fk0 = f 0 ,
                             k=1

и полученный ряд также будет сходиться в D0 .
   Определение 4. Пусть f ∈ D0 и функция λ бесконечно
дифференцируема на (−∞, +∞). Произведением λf называ-
ется обобщенная функция, задаваемая формулой
                    (λf, ϕ) B (f, λϕ) ∀ ϕ ∈ C0∞ .
  Упражнение 2. Показать, что λf — линейный непрерыв-
ный функционал на D, т. е. обобщенная функция из D0 .

          § 28.3. Пространства S, S 0 основных и
                   обобщенных функций
   Наряду с парой D, D0 основных и обобщенных функций
важнейшей в математическом анализе и теории дифферен-
циальных уравнений в частных производных является пара
пространств S, S 0 (называемых пространствами Л. Шварца)
основных и обобщенных функций. Эти пространства замеча-
тельны тем, что они инвариантны относительно преобразова-
ния Фурье:
              ϕ ∈ S ⇒ F [ϕ] ∈ S,       f ∈ S 0 ⇒ F [f ] ∈ S 0 .

   Определение 1. Линейным пространством S называется
множество комплекснозначных бесконечно дифференцируемых
на (−∞, +∞) функций ϕ, для которых конечна каждая из по-
лунорм
         kϕkn,m B     sup     |xn ϕ(m) (x)| < ∞ ∀ n, m ∈ N0 ,     (1)
                    −∞

Страницы