Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 207 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§28.3. Пространства S, S
0
основных и обобщенных функций 207
В пространстве S
0
определена операция дифференцирова-
ния равенством
(f
0
, ϕ) B −(f, ϕ
0
) ∀ϕ ∈ S.
Эта операция является непрерывной в S
0
в том с мысле, что
(при k → ∞) ϕ
k
→ ϕ в S
0
⇒ ϕ
0
k
→ ϕ
0
в S.
Отсюда следует, что при f
k
, f ∈ S
0
∞
X
k=1
f
k
S
0
= f ⇒
∞
X
k=1
f
0
k
S
0
= f
0
.
В пространстве S
0
определена операция умножения на мно-
гочлен p(x) формулой
(pf, ϕ) B (f, pϕ) ∀ϕ ∈ S, ∀f ∈ S
0
.
Преобразование Фурье F [ϕ] и обратное преобразование Фу-
рье F
−1
[ϕ] для ϕ ∈ S записывается в виде
F [ϕ](x) =
1
√
2π
Z
+∞
−∞
f(y)e
−ixy
dy,
F
−1
[ϕ](x) =
1
√
2π
Z
+∞
−∞
f(y)e
ixy
dy.
Упражнение 1. Установить следующие свойства пре-
образования Фурье:
1.
◦
ϕ ∈ S ⇒ F [ϕ], F
−1
[ϕ] ∈ S;
2.
◦
преобразование Фурье взаимно однозначно отображает
S на S;
3.
◦
операции преобразования Фурье F [ϕ] (и обратного пре-
образования Фурье F
−1
[ϕ]) непрерывны в S в том смы-
сле, что при k → ∞
ϕ
k
→ ϕ ⇒ F [ϕ
k
]
S
= F [ϕ] (F
−1
[ϕ
k
]
S
= F
−1
[ϕ]).
Равенство
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
f(y)e
−ixy
dy
ϕ(x) dx =
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
ϕ(x)e
−iyx
dx
f(y) dy
для функций ϕ ∈ S, f — абсолютно интегрируемой на
(−∞, +∞) делает естественным
    § 28.3. Пространства S, S 0 основных и обобщенных функций         207

   В пространстве S 0 определена операция дифференцирова-
ния равенством
                    (f 0 , ϕ) B −(f, ϕ0 ) ∀ ϕ ∈ S.
   Эта операция является непрерывной в S 0 в том смысле, что
(при k → ∞) ϕk → ϕ в S 0 ⇒ ϕ0k → ϕ0 в S.
   Отсюда следует, что при fk , f ∈ S 0
                  ∞             ∞
                        S0             S0
                 X             X
                     fk = f ⇒      fk0 = f 0 .
                   k=1         k=1
   В                 0
       пространстве S определена операция         умножения на мно-
гочлен p(x) формулой
               (pf, ϕ) B (f, pϕ) ∀ ϕ ∈ S,      ∀ f ∈ S0.
   Преобразование Фурье F [ϕ] и обратное преобразование Фу-
рье F −1 [ϕ] для ϕ ∈ S записывается в виде
                                  Z +∞
                              1
                 F [ϕ](x) = √          f (y)e−ixy dy,
                               2π −∞
                                  Z +∞
                 −1           1
               F [ϕ](x) = √            f (y)eixy dy.
                               2π −∞
   Упражнение 1. Установить следующие свойства пре-
образования Фурье:
    1.◦ ϕ ∈ S ⇒ F [ϕ], F −1 [ϕ] ∈ S;
    2.◦ преобразование Фурье взаимно однозначно отображает
        S на S;
    3.◦ операции преобразования Фурье F [ϕ] (и обратного пре-
        образования Фурье F −1 [ϕ]) непрерывны в S в том смы-
        сле, что при k → ∞
                                 S                    S
              ϕk → ϕ ⇒ F [ϕk ] = F [ϕ]     (F −1 [ϕk ] = F −1 [ϕ]).
     Равенство
Z   ∞ Z ∞                          Z   ∞ Z ∞                
                 −ixy                                 −iyx
           f (y)e       dy ϕ(x) dx =            ϕ(x)e        dx f (y) dy
 −∞      −∞                           −∞     −∞
для функций ϕ ∈ S, f — абсолютно интегрируемой на
(−∞, +∞) делает естественным

Страницы