Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 208 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

208 Глава 28. Обобщенные функции
Определение 6. Преобразованием (обратным преобразо-
ванием) Фурье обобщенной функции f ∈ S
0
называется обоб-
щенная функция F [f] (F
−1
[f]), определенная равенством
(F [f ], ϕ) B (f, F [ϕ]) ((F
−1
[f], ϕ) B (f, F
−1
[ϕ])) ∀ϕ ∈ S.
Упражнение 2. Установить следующие свойства пре-
образования Фурье обобщенных функций:
1.
◦
f ∈ S
0
⇒ F [f ] ∈ S
0
, F
−1
[f] ∈ S;
2.
◦
S
0
F
↔ S
0
;
3.
◦
непрерывность — при k → ∞
f
k
→ f в S
0
⇒ F [f
k
] → F [f ] в S
0
, F
−1
[f
k
] → F
−1
[f] в S
0
;
4.
◦
F [f
(n)
] = (ix)
n
F [f ] ∀f ∈ S
0
;
5.
◦
(F [f ])
(n)
= F [(−ix)
n
f] ∀f ∈ S
0
.
208                    Глава 28. Обобщенные функции

   Определение 6. Преобразованием (обратным преобразо-
ванием) Фурье обобщенной функции f ∈ S 0 называется обоб-
щенная функция F [f ] (F −1 [f ]), определенная равенством
  (F [f ], ϕ) B (f, F [ϕ])     ((F −1 [f ], ϕ) B (f, F −1 [ϕ])) ∀ ϕ ∈ S.
   Упражнение 2. Установить следующие свойства пре-
образования Фурье обобщенных функций:
   1.◦ f ∈ S 0 ⇒ F [f ] ∈ S 0 , F −1 [f ] ∈ S;
             F
      2.◦ S 0 ↔ S 0 ;
      3.◦ непрерывность — при k → ∞
        fk → f в S 0 ⇒ F [fk ] → F [f ] в S 0 , F −1 [fk ] → F −1 [f ] в S 0 ;
      4.◦ F [f (n) ] = (ix)n F [f ] ∀ f ∈ S 0 ;
      5.◦ (F [f ])(n) = F [(−ix)n f ] ∀ f ∈ S 0 .

Страницы