Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 206 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

206 Глава 28. Обобщенные функции
При x → ±∞ функция ϕ ∈ S и каждая из ее производных
убывает быстрее любой степени функции
1
|x|
. Такую функцию
называют быстро убывающей.
Заметим, что C
∞
0
⊂ S, однако S не совпадает с C
∞
0
. Так,
функция ϕ(x) = e
−x
2
принадлежит S, но не C
∞
0
.
Введем в S понятие сходимости.
Определение 2. Последовательность {ϕ
k
}
∞
k=1
функций
ϕ
k
∈ S называется сходящейся к функции ϕ ∈ S, если
kϕ
k
− ϕk
n,m
→ 0 при k → ∞ для ∀n, m ∈ N
0
. (2)
В других терминах сходимость (2) означает, что для любых
n, m ∈ N
0
x
n
ϕ
(m)
k
(x) ⇒ x
n
ϕ
(m)
(x) на (−∞, +∞) при k → ∞.
Определение 3. Линейное пространство S с введен-
ной сходимостью (2) называется пространством S основных
функций.
Определение 4. Линейный непрерывный функционал над
S называется обобщенной функцией медленного роста.
Пример 1. Пусть функция f локально абсолютно инте-
грируема и при некоторых A > 0, n ∈ N
|f(x)| 6 A(1 + |x|
n
), x ∈ (−∞, ∞).
Тогда
(f, ϕ) B
Z
∞
−∞
f(x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ S
является обобщенной функцией медленного роста.
Определение 5. Пространством S
0
обобщенных функ-
ций (медленного роста) называется множество (линейное про-
странство) всех обобщенных функций медленного роста с вве-
денными в нем операциями сложения, умножения на комплекс-
ные числа и сходимостью по следующим правилам:
1.
◦
(αf +βg, ϕ) = α(f, ϕ) +β(g, ϕ), f, g ∈ S
0
, α, β ∈ C, ϕ ∈ S,
2.
◦
последовательность {f
k
}
∞
k=1
, f
k
∈ S
0
∀k ∈ N, называется
сходящейся в S
0
к f ∈ S
0
при k → ∞, если
(f
k
, ϕ) → (f, ϕ) при k → ∞ ∀ϕ ∈ S.
206                 Глава 28. Обобщенные функции

   При x → ±∞ функция ϕ ∈ S и каждая из ее производных
                                       1 . Такую функцию
убывает быстрее любой степени функции |x|
называют быстро убывающей.
   Заметим, что C0∞ ⊂ S, однако S не совпадает с C0∞ . Так,
                   2
функция ϕ(x) = e−x принадлежит S, но не C0∞ .
   Введем в S понятие сходимости.
   Определение 2. Последовательность {ϕk }∞   k=1 функций
ϕk ∈ S называется сходящейся к функции ϕ ∈ S, если
       kϕk − ϕkn,m → 0 при k → ∞ для                 ∀ n, m ∈ N0 .   (2)
    В других терминах сходимость (2) означает, что для любых
n, m ∈ N0
         (m)
      xn ϕk (x) ⇒ xn ϕ(m) (x) на (−∞, +∞) при k → ∞.
   Определение 3. Линейное пространство S с введен-
ной сходимостью (2) называется пространством S основных
функций.
   Определение 4. Линейный непрерывный функционал над
S называется обобщенной функцией медленного роста.
   Пример 1. Пусть функция f локально абсолютно инте-
грируема и при некоторых A > 0, n ∈ N
               |f (x)| 6 A(1 + |x|n ),     x ∈ (−∞, ∞).
Тогда                      Z   ∞
                (f, ϕ) B           f (x)ϕ(x) dx   ∀ϕ ∈ S
                           −∞
является обобщенной функцией медленного роста.
   Определение 5. Пространством S 0 обобщенных функ-
ций (медленного роста) называется множество (линейное про-
странство) всех обобщенных функций медленного роста с вве-
денными в нем операциями сложения, умножения на комплекс-
ные числа и сходимостью по следующим правилам:
   1.◦ (αf + βg, ϕ) = α(f, ϕ) + β(g, ϕ), f, g ∈ S 0 , α, β ∈ C, ϕ ∈ S,
   2.◦ последовательность {fk }∞              0
                                 k=1 , fk ∈ S ∀ k ∈ N, называется
       сходящейся в S 0 к f ∈ S 0 при k → ∞, если
                (fk , ϕ) → (f, ϕ) при k → ∞            ∀ ϕ ∈ S.

Страницы