Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 204 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

204 Глава 28. Обобщенные функции
Пример 1. Пусть θ — функция Хевисайда
θ(x) =
(
0 при x < 0,
1 при x > 0.
Рассматривая θ как обобщенную функцию, найдем ее про-
изводную. Пусть ϕ ∈ D. Тогда
(θ
0
, ϕ) = −(θ, ϕ
0
) = −
Z
+∞
0
ϕ
0
(x) dx = ϕ(0) = (δ, ϕ).
Следовательно, θ
0
= δ.
Определение 2. Пусть f ∈ D
0
, n ∈ N. Обобщенная функ-
ция f
(n)
, задаваемая формулой
(f
(n)
, ϕ) B (−1)
n
(f, ϕ
(n)
) ∀ϕ ∈ D, (2)
называется производной порядка n от обобщенной функции f .
Так же, как для n = 1, проверяется, что функционал
(f, ϕ
(n)
) из правой части (2) является линейным и непрерыв-
ным на D, т. е. обобщенной функцией.
Упражнение 1. Вычислить вторую производную функ-
ции f(x) = |x|.
Мы видим, что каждую обобщенную функцию f (∈ D
0
)
можно дифференцировать и притом сколько угодно раз, а ее
производная f
(n)
любого порядка n также является обобщен-
ной функцией (элементом D
0
).
Определение 3. Пусть f
k
∈ D
0
∀k ∈ N. Ряд
∞
P
k=1
f
k
называется рядом обобщенных функций. Этот ряд называется
сходящимся в D
0
к f ∈ D
0
, если
S
n
B
n
X
k=1
f
k
→ f в D
0
при n → ∞.
При этом пишут
∞
X
k=1
f
k
= f. (3)
204                  Глава 28. Обобщенные функции

      Пример 1. Пусть θ — функция Хевисайда
                          (
                           0 при x < 0,
                   θ(x) =
                           1 при x > 0.
   Рассматривая θ как обобщенную функцию, найдем ее про-
изводную. Пусть ϕ ∈ D. Тогда
                             Z +∞
        0             0
      (θ , ϕ) = −(θ, ϕ ) = −      ϕ0 (x) dx = ϕ(0) = (δ, ϕ).
                                    0

      Следовательно, θ0 = δ.
   Определение 2. Пусть f ∈ D0 , n ∈ N. Обобщенная функ-
ция f (n) , задаваемая формулой
                (f (n) , ϕ) B (−1)n (f, ϕ(n) ) ∀ ϕ ∈ D,          (2)
называется производной порядка n от обобщенной функции f .
    Так же, как для n = 1, проверяется, что функционал
(f, ϕ(n) ) из правой части (2) является линейным и непрерыв-
ным на D, т. е. обобщенной функцией.
    Упражнение 1. Вычислить вторую производную функ-
ции f (x) = |x|.
    Мы видим, что каждую обобщенную функцию f (∈ D0 )
можно дифференцировать и притом сколько угодно раз, а ее
производная f (n) любого порядка n также является обобщен-
ной функцией (элементом D0 ).
                                                        ∞
    Определение 3. Пусть fk ∈ D0 ∀ k ∈ N. Ряд
                                                       P
                                                          fk
                                                               k=1
называется рядом обобщенных функций. Этот ряд называется
сходящимся в D0 к f ∈ D0 , если
                     n
                     X
              Sn B         fk → f       в D0      при n → ∞.
                     k=1

      При этом пишут
                               ∞
                               X
                                        fk = f.                  (3)
                               k=1

Страницы