Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 202 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

202 Глава 28. Обобщенные функции
Пример 3. δ-функция, определяемая формулой
(δ, ϕ) = ϕ(0) ∀ϕ ∈ D,
является сингулярной обобщенной функцией. Покажем это.
Допустив противное, предположим, что δ-функция является
регулярной обобщенной функцией, т. е. что при некоторой ло-
кально абсолютно интег рируемой функции f
(δ, ϕ) =
Z
∞
−∞
f(x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ D.
Тогда для ϕ из примера 1
Z
a
−a
f(x)e
a
2
x
2
−a
2
dx = ϕ(0) = e
−1
∀a ∈ (0, 1).
Но это равенство не выполняется при малых значениях a,
т. к. его левая часть ограничена интегралом
Z
a
−a
|f(x)|dx → 0 при a → 0 + 0.
Следовательно, δ-функция не является регулярной, а зна-
чит, является сингулярной обобщенной функцией.
Пример 4. Последовательность {f
k
}
∞
k=1
неотрицательных
абсолютно интегрируемых на (−∞, +∞) функций называется
δ-образной последовательностью, если
1.
◦
R
+∞
−∞
f
k
(x) dx = 1 ∀k ∈ N;
2.
◦
lim
k→∞
R
+ε
−ε
f
k
(x) dx = 1 ∀ε > 0.
Примером δ-образной последовательности функций явля-
ется последовательность функций
f
k
(x) =
1
2k
при |x| 6
1
k
,
0 при |x| >
1
k
.
Упражнение 1. Показать, что если {f
k
}
∞
k=1
— δ-образная
последовательность, то
f
k
→ δ в D
0
при k → ∞,
202                   Глава 28. Обобщенные функции

      Пример 3. δ-функция, определяемая формулой
                       (δ, ϕ) = ϕ(0) ∀ ϕ ∈ D,
является сингулярной обобщенной функцией. Покажем это.
Допустив противное, предположим, что δ-функция является
регулярной обобщенной функцией, т. е. что при некоторой ло-
кально абсолютно интегрируемой функции f
                      Z ∞
             (δ, ϕ) =     f (x)ϕ(x) dx ∀ ϕ ∈ D.
                           −∞

Тогда для ϕ из примера 1
        Z a
                     a2
            f (x)e x2 −a2 dx = ϕ(0) = e−1   ∀ a ∈ (0, 1).
            −a

    Но это равенство не выполняется при малых значениях a,
т. к. его левая часть ограничена интегралом
               Z a
                   |f (x)| dx → 0 при a → 0 + 0.
                 −a

   Следовательно, δ-функция не является регулярной, а зна-
чит, является сингулярной обобщенной функцией.
   Пример 4. Последовательность {fk }∞k=1 неотрицательных
абсолютно интегрируемых на (−∞, +∞) функций называется
δ-образной последовательностью, если
        R +∞
    1.◦ −∞ fk (x) dx = 1 ∀ k ∈ N;
             R +ε
    2.◦ lim −ε fk (x) dx = 1 ∀ ε > 0.
        k→∞
   Примером δ-образной последовательности функций явля-
ется последовательность функций
                         
                          1 при |x| 6 1 ,
                 fk (x) = 2k            k
                         0   при |x| > k1 .

   Упражнение 1. Показать, что если {fk }∞
                                         k=1 — δ-образная
последовательность, то
                  fk → δ    в D0    при k → ∞,

Страницы