Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 199 стр.

 § 28.1. Пространства D, D0 основных и обобщенных функций 199

   Как видим, наши требования к предельной «функции» δ(x)
противоречивы, если понимать их в классических математи-
ческих терминах. Этот (в частности) вопрос разрешим в рам-
ках теории обобщенных функций, созданной С.Л. Соболевым
и Л. Шварцем.
   В рассмотренном примере можно использованное понятие
поточечного предельного перехода заменить другим. Если ϕ
— произвольная непрерывная на (−∞, +∞) функция, то суще-
ствует             Z +∞
               lim        δε (x)ϕ(x) dx = ϕ(0).
               ε→0 −∞
   Формально это записывают так:
                          Z +∞
       (δ, ϕ) = ϕ(0) или       δ(x)ϕ(x) dx = ϕ(0).
                               −∞

    Отображение, которое каждой функции некоторого класса
ставит в соответствие число, называется функционалом. По-
следнее равенство означает, что δ(x) — функционал, опреде-
ленный на множестве всех непрерывных на (−∞, +∞) функ-
ций и ставящий в соответствие каждой непрерывной функции
ее значение в точке 0. Функционал δ(x) называют δ-функцией
Дирака. Функцию δε (x) также можно рассматривать как функ-
ционал на множестве всех непрерывных функций, действую-
щий по формуле
                        Z ∞
                    ϕ→      δε (x)ϕ(x) dx,
                          −∞

в которой интеграл
           h       i можно понимать как интеграл Римана
              ε  ε
по отрезку − 2 , 2 , а предельный переход δε → δ (называ-
емый слабой сходимостью) понимать как предельный переход
на множестве функционалов.
   Перейдем к точным формулировкам. Будем далее рассма-
тривать лишь одномерный случай.
   Функция f : R → R называется финитной, если f = 0 вне
некоторого отрезка.