Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§27.2. Преобразование Фурье 197
Следствие 1. Пусть функция f абсолютно интегрируема
на (−∞, +∞) вместе со своими производными до порядка n
включительно и f
(n)
— непрерывна на (−∞, +∞). Тогда
F [f
(n)
](y) = (iy)
n
F [f](y), при y ∈ (−∞, +∞), (6)
|F [f](y)| 6
M
|y|
n
, где M = sup
(−∞,+∞)
|F [f
(n)
]|. (7)
Д о к а з а т е л ь с т в о равенства (5) сводится к последо-
вательному применению n раз теоремы 2. Оценка (7) следует
из равенства (6).
Теорема 3. Пусть функция f непрерывна на (−∞, +∞),
а функция f
1
(f
1
(x) = xf(x)) абсолютно интегрируема на
(−∞, +∞). Тогда
d
dy
F [f](y) = F [−if
1
](y) = F [−ixf(x)](y).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя первый из инте-
гралов (4) по параметру y, получаем на основании тео-
ремы 26.3.7
d
dy
F [f](y) =
1
√
2π
d
dy
Z
∞
−∞
f(x)e
−iyx
dx =
=
1
√
2π
Z
∞
−∞
(−ix)f(x)e
−iyx
dx.
Заметим, что последний интеграл сходится равномерно на
(−∞, +∞) по признаку Вейерштрасса с мажорантой ϕ(x) =
= |xf(x)|.
Следствие 2. Пусть функция f непрерывна на (−∞, +∞),
а функция f
n
(f
n
(x) = x
n
f(x)) при некотором n ∈ N абсолютно
интегрируема на (−∞, +∞). Тогда при y ∈ (−∞, +∞) суще-
ствует
d
n
dy
n
F [f](y) = F [(−i)
n
f
n
](y) = F [(−ix)
n
f(x)](y).
                 § 27.2. Преобразование Фурье                   197

   Следствие 1. Пусть функция f абсолютно интегрируема
на (−∞, +∞) вместе со своими производными до порядка n
включительно и f (n) — непрерывна на (−∞, +∞). Тогда
       F [f (n) ](y) = (iy)n F [f ](y), при y ∈ (−∞, +∞),       (6)
                        M
        |F [f ](y)| 6 n , где M = sup |F [f (n) ]|.             (7)
                       |y|                (−∞,+∞)

   Д о к а з а т е л ь с т в о равенства (5) сводится к последо-
вательному применению n раз теоремы 2. Оценка (7) следует
из равенства (6).
   Теорема 3. Пусть функция f непрерывна на (−∞, +∞),
а функция f1 (f1 (x) = xf (x)) абсолютно интегрируема на
(−∞, +∞). Тогда
          d
            F [f ](y) = F [−if1 ](y) = F [−ixf (x)](y).
         dy
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя первый из инте-
гралов (4) по параметру y, получаем на основании тео-
ремы 26.3.7
                        Z ∞
 d              1 d
   F [f ](y) = √             f (x)e−iyx dx =
dy               2π dy   −∞
                                             Z ∞
                                         1
                                    =√           (−ix)f (x)e−iyx dx.
                                         2π −∞
   Заметим, что последний интеграл сходится равномерно на
(−∞, +∞) по признаку Вейерштрасса с мажорантой ϕ(x) =
= |xf (x)|.
   Следствие 2. Пусть функция f непрерывна на (−∞, +∞),
а функция fn (fn (x) = xn f (x)) при некотором n ∈ N абсолютно
интегрируема на (−∞, +∞). Тогда при y ∈ (−∞, +∞) суще-
ствует
        dn
            F [f ](y) = F [(−i)n fn ](y) = F [(−ix)n f (x)](y).
       dy n

Страницы