Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 193 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§27.1. Интеграл Фурье 193
Напомним, что для комплекснозначной функции действи-
тельного аргумента
w(t) = u(t) + iv(t), u(t), v(t) ∈ R ∀t
интеграл Римана и несобственный интеграл Римана опреде-
ляются так же, как для действительнозначной функции. При
этом
Z
b
a
w(t) dt =
Z
b
a
u(t) dt + i
Z
b
a
v(t) dt,
если два последних интеграла существуют, и
Z
b
a
w(t) dt
6
Z
b
a
|w(t)|dt,
если интеграл в левой части существует как интеграл Ри-
мана или абсолютно сходится как несобственный интеграл с
несколькими особенностями.
Определение 2. Пусть функция f: (−∞, +∞) → R инте-
грируема по Риману на любом отрезке [−η, η], η > 0. Тогда
v.p.
Z
+∞
−∞
f(x) dx B lim
η→+∞
Z
η
−η
f(x) dx.
Пусть функция ϕ: [a, b]\{x
0
} → R, x
0
∈ (a, b), интегрируема
по Риману на любом множестве [a, b] \ U
ε
(x
0
), ε > 0. Тогда
v.p.
Z
b
a
ϕ(x) dx B lim
ε→0
Z
[a,b]\U
ε
(x
0
)
ϕ(x) dx.
Введенные конструкции называются главными значениями
(valeur principale) интегралов.
Если интеграл сходится как несобственный, то он имеет,
очевидно, и главное значение, совпадающее с несобственным
интегралом. Обратное неверно. Например, главные значения
интегралов
R
∞
−∞
sin x dx,
R
1
−1
dx
x
существуют и равны нулю, но
сами интегралы не сходятся как несобственные.
Пусть функция f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞) и
в каждой точке имеет обе односторонние производные (а зна-
                          § 27.1. Интеграл Фурье                           193

   Напомним, что для комплекснозначной функции действи-
тельного аргумента
           w(t) = u(t) + iv(t),               u(t), v(t) ∈ R          ∀t
интеграл Римана и несобственный интеграл Римана опреде-
ляются так же, как для действительнозначной функции. При
этом        Z     b     Z           Z b                     b
                      w(t) dt =           u(t) dt + i           v(t) dt,
              a                   a                     a
если два последних интеграла существуют, и
                  Z b           Z b
                      w(t) dt 6     |w(t)| dt,
                           a                   a

если интеграл в левой части существует как интеграл Ри-
мана или абсолютно сходится как несобственный интеграл с
несколькими особенностями.
   Определение 2. Пусть функция f : (−∞, +∞) → R инте-
грируема по Риману на любом отрезке [−η, η], η > 0. Тогда
                Z +∞                Z η
           v.p.      f (x) dx B lim     f (x) dx.
                          −∞                  η→+∞ −η

   Пусть функция ϕ: [a, b]\{x0 } → R, x0 ∈ (a, b), интегрируема
по Риману на любом множестве [a, b] \ Uε (x0 ), ε > 0. Тогда
               Z b               Z
          v.p.     ϕ(x) dx B lim            ϕ(x) dx.
                      a                   ε→0 [a,b]\Uε (x )
                                                         0


    Введенные конструкции называются главными значениями
(valeur principale) интегралов.
    Если интеграл сходится как несобственный, то он имеет,
очевидно, и главное значение, совпадающее с несобственным
интегралом.R Обратное неверно.   Например, главные значения
              ∞
интегралов −∞ sin x dx, −1 dx
                          R1
                              x существуют и равны нулю, но
сами интегралы не сходятся как несобственные.
    Пусть функция f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞) и
в каждой точке имеет обе односторонние производные (а зна-

Страницы