Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 191 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§27.1. Интеграл Фурье 191
Применяя лемму 1, имеем
S
η
(x) =
1
π
Z
+∞
−∞
f(t)
Z
η
0
cos y(x − t) dy dt =
=
1
π
Z
∞
−∞
f(t)
sin η(x − t)
x − t
dt =
1
π
Z
∞
−∞
f(u + x)
sin ηu
u
du =
=
1
π
Z
0
−∞
+
Z
∞
0
f(u + x)
sin ηu
u
du,
S
η
(x) =
1
π
Z
∞
0
[f(x + t) + f(x − t)]
sin ηt
t
dt. (5)
Лемма 3.
Z
∞
0
sin ηt
t
dt =
Z
∞
0
sin t
t
dt =
π
2
∀η > 0 . (6)
Д о к а з а т е л ь с т в о этого равенства предлагается
провести самостоятельно, используя указание к упражне-
нию 26.3.6.
Напомним определение 24.2.1. Точка x
0
называется по-
чти регулярной точкой функции f, если существуют f(x
0
+
+ 0), f(x
0
− 0),
f
0
+
(x
0
) B lim
h→0+0
f(x
0
+ h) − f(x
0
+ 0)
h
,
f
0
−
(x
0
) B lim
h→0+0
f(x
0
− h) − f(x
0
− 0)
−h
.
Если при этом f(x
0
) =
f(x
0
− 0) + f (x
0
+ 0)
2
, то x
0
называ-
ется регулярной точкой функции f.
Если функция f имеет в точке x
0
правую и левую одно-
сторонние производные, то f непрерывна в точке x
0
и x
0
—
регулярная точка функции f.
Теорема 1 (достаточные условия сходимости в
точке интеграла Фурье). Пусть функция f абсолютно ин-
тегрируема на (−∞, +∞) и a(y), b(y) определены формулой (4).
Тогда
1.
◦
если x
0
— почти регулярная точка функции f , то
S(x
0
) = S(x
0
, f ) =
Z
∞
0
[a(y) cos x
0
y + b(y) sin x
0
y] dy =
                      § 27.1. Интеграл Фурье                          191

    Применяя лемму 1, имеем
          1 +∞
           Z             Z η
Sη (x) =           f (t)     cos y(x − t) dy dt =
         π −∞             0
      1 ∞          sin η(x − t)         1 ∞
        Z                                 Z
                                                          sin ηu
    =        f (t)                dt =         f (u + x)          du =
      π −∞             x−t              π −∞                 u
                                    Z 0      Z ∞
                                  1                             sin ηu
                               =            +        f (u + x)         du,
                         Z ∞      π    −∞      0                   u
                      1                              sin ηt
           Sη (x) =          [f (x + t) + f (x − t)]        dt.        (5)
                      π 0                               t
    Лемма 3.
         Z ∞                   Z    ∞
                 sin ηt                 sin t      π
                        dt =                  dt =     ∀ η > 0.       (6)
             0      t           0         t        2
   Доказательство                 этого равенства предлагается
провести самостоятельно, используя указание к упражне-
нию 26.3.6.
   Напомним определение 24.2.1. Точка x0 называется по-
чти регулярной точкой функции f , если существуют f (x0 +
+ 0), f (x0 − 0),
                               f (x0 + h) − f (x0 + 0)
              f+0 (x0 ) B lim                          ,
                         h→0+0            h
                               f (x0 − h) − f (x0 − 0)
              f−0 (x0 ) B lim                          .
                         h→0+0           −h
                             0     f (x − 0) + f (x + 0)
                                     0
   Если при этом f (x0 ) =         2      , то x0 называ-
ется регулярной точкой функции f .
   Если функция f имеет в точке x0 правую и левую одно-
сторонние производные, то f непрерывна в точке x0 и x0 —
регулярная точка функции f .
   Теорема 1 (достаточные условия сходимости в
точке интеграла Фурье). Пусть функция f абсолютно ин-
тегрируема на (−∞, +∞) и a(y), b(y) определены формулой (4).
Тогда
   1.◦ если x0 — почти регулярная точка функции f , то
                             Z ∞
       S(x0 ) = S(x0 , f ) =     [a(y) cos x0 y + b(y) sin x0 y] dy =
                               0

Страницы