Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 188 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 27
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 27.1. Интеграл Фурье
Напомним определение 14.8.2.
При −∞ 6 a < b 6 +∞ функция f называется абсолютно
интегрируемой на интервале (a, b), если существует конечное
число точек {c
i
}, a = c
0
< c
1
< . . . < c
k
= b таких, что
1.
◦
функция f интегрируема по Риману на любом отрезке
[α, β] ⊂ (a, b), не содержащем точек c
i
;
2.
◦
сходится несобственный интеграл
R
b
a
|f(x)|dx, понима-
емый как несобственный интеграл с особенностями в
точках c
0
, c
1
, . . . , c
k
.
Множество всех абсолютно интегрируемых на (a, b) функ-
ций образует полунормированное пространство RL((a, b)) с по-
лунормой
R
b
a
|f(x)|dx, см. пример 25.2.5.
Лемма 1. Пусть функция f абсолютно интегрируема на
(a, b), функция ϕ непрерывна и ограничена на (a, b) × [c, d].
Тогда
1.
◦
несобственный интеграл
I(y) =
Z
b
a
f(x)ϕ(x, y) dx
непрерывен на [c, d],
2.
◦
Z
d
c
Z
b
a
f(x)ϕ(x, y) dx dy =
Z
b
a
Z
d
c
f(x)ϕ(x, y) dy dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1
◦
. Пусть |ϕ(x, y)| 6 M при
(x, y) ∈ (a, b) × [c, d]. Пусть ε > 0, a < ξ < η < b, причем
ξ = ξ(ε) и η = η(ε) таковы, что
Z
ξ
a
|f(x)|dx < ε,
Z
b
η
|f(x)|dx < ε.
              Глава 27
          ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
      И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

                   § 27.1. Интеграл Фурье
   Напомним определение 14.8.2.
   При −∞ 6 a < b 6 +∞ функция f называется абсолютно
интегрируемой на интервале (a, b), если существует конечное
число точек {ci }, a = c0 < c1 < . . . < ck = b таких, что
   1.◦ функция f интегрируема по Риману на любом отрезке
       [α, β] ⊂ (a, b), не содержащем точек ci ;
     ◦
                                              Rb
   2. сходится несобственный интеграл a |f (x)| dx, понима-
       емый как несобственный интеграл с особенностями в
       точках c0 , c1 , . . . , ck .
   Множество всех абсолютно интегрируемых на (a, b) функ-
ций образует полунормированное пространство RL((a, b)) с по-
           Rb
лунормой a |f (x)| dx, см. пример 25.2.5.

    Лемма 1. Пусть функция f абсолютно интегрируема на
(a, b), функция ϕ непрерывна и ограничена на (a, b) × [c, d].
Тогда
     1.◦ несобственный интеграл
                              Z b
                       I(y) =     f (x)ϕ(x, y) dx
                               a
      непрерывен на [c, d],
      Z dZ b                      Z bZ     d
    ◦
   2.        f (x)ϕ(x, y) dx dy =              f (x)ϕ(x, y) dy dx.
       c   a                       a   c

    Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦ . Пусть |ϕ(x, y)| 6 M при
(x, y) ∈ (a, b) × [c, d]. Пусть ε > 0, a < ξ < η < b, причем
ξ = ξ(ε) и η = η(ε) таковы, что
                Z ξ                  Z b
                    |f (x)| dx < ε,      |f (x)| dx < ε.
               a                   η

Страницы