Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 185 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 185
2.
◦
функция g равномерно ограничена, т. е. ∃M > 0 такое,
что
|g(x, y)| 6 M при x ∈ [a, ∞), y ∈ Y.
Тогда интеграл I(y) из (9) сходится равномерно на Y .
Д о к а з а т е л ь с т в о предлагается читателю провести
самостоятельно, оценив (как и при доказательстве признака
Дирихле ) α(η
0
, η
00
, y) с использованием условий теоремы.
Упражнение 7. Установить равномерную сходимость ин-
теграла из примера 2 с помощью признака Дирихле.
Упражнение 8. Доказать с помощью признака Абеля
утверждение из упражнения 2, воспользовавшись приме-
ром 14.7.3.
В этом параграфе до сих пор рассматривались несобствен-
ные интегралы с особ е нностью на верхнем пределе. Анало-
гично изучаются зависящие от параметра несобственные ин-
тегралы с особенностью на нижнем пределе (см. определе-
ние 14.7.3) и зависящие от параметра несобственные инте-
гралы с несколькими особенностями (см. определение 14.7.5).
В последнем случае интеграл с несколькими особенностями
I(y) =
Z
b
a
f(x, y) dx, −∞ 6 a < b 6 +∞, y ∈ Y,
представляется в виде суммы интегралов
I(y) =
k
X
i=1
I
i
(y) =
k
X
i=1
Z
c
i
c
i−1
f(x, y) dy,
−∞ 6 a = c
0
< c
1
< . . . < c
k
= b 6 +∞,
где каждый из интегралов I
i
(y) является несобственным с од-
ной особенностью на верхнем либо на нижнем пределе. При
этом интеграл I(y) называется равномерно сходящимся на Y ,
если каждый из интегралов I
i
(y) равномерно сходится на Y .
Пример 3. (Гамма-функция Эйлера).
Γ(s) =
Z
+∞
0
x
s−1
e
−x
dx, s > 0. (10)
  § 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра   185

   2.◦ функция g равномерно ограничена, т. е. ∃ M > 0 такое,
       что
              |g(x, y)| 6 M при x ∈ [a, ∞), y ∈ Y.
Тогда интеграл I(y) из (9) сходится равномерно на Y .
   Д о к а з а т е л ь с т в о предлагается читателю провести
самостоятельно, оценив (как и при доказательстве признака
Дирихле) α(η 0 , η 00 , y) с использованием условий теоремы.
   Упражнение 7. Установить равномерную сходимость ин-
теграла из примера 2 с помощью признака Дирихле.
   Упражнение 8. Доказать с помощью признака Абеля
утверждение из упражнения 2, воспользовавшись приме-
ром 14.7.3.
   В этом параграфе до сих пор рассматривались несобствен-
ные интегралы с особенностью на верхнем пределе. Анало-
гично изучаются зависящие от параметра несобственные ин-
тегралы с особенностью на нижнем пределе (см. определе-
ние 14.7.3) и зависящие от параметра несобственные инте-
гралы с несколькими особенностями (см. определение 14.7.5).
В последнем случае интеграл с несколькими особенностями
              Z b
      I(y) =       f (x, y) dx, −∞ 6 a < b 6 +∞, y ∈ Y,
              a
представляется в виде суммы интегралов
                   Xk           k Z ci
                                X
            I(y) =     Ii (y) =        f (x, y) dy,
                     i=1        i=1   ci−1

           −∞ 6 a = c0 < c1 < . . . < ck = b 6 +∞,
где каждый из интегралов Ii (y) является несобственным с од-
ной особенностью на верхнем либо на нижнем пределе. При
этом интеграл I(y) называется равномерно сходящимся на Y ,
если каждый из интегралов Ii (y) равномерно сходится на Y .
   Пример 3. (Гамма-функция Эйлера).
                     Z +∞
              Γ(s) =      xs−1 e−x dx, s > 0.           (10)
                           0

Страницы