Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 181 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 181
существует такое δ
ε
> 0, что |I(y + ∆y) −I(y)| 6 ε + ε + ε = 3ε,
если |∆y| 6 δ
ε
, что и означает непрерывность I(y) при любом
y ∈ Π, т. е. непрерывность I на Π.
Упражнение 4. Доказать следующую теорему о предель-
ном переходе под знаком несобственного интеграла.
Теорема 5. Пусть y
(0)
— предельная точка множества
Y ⊂ R
m
(при m = 1 не исключаются значения y
(0)
= +∞, −∞,
∞). Пусть функция f: [a, b) × Y → R, [a, b) ⊂ R, при каждом
y ∈ Y непрерывна на [a, b) как функция x и
f(x, y) ⇒
[a,η]
ϕ(x) при Y 3 y → y
(0)
.
на любом отрезке [a, η] ⊂ [a, b).
Пусть интеграл I(y) (1) сходится равномерно на Y .
Тогда сходится
R
b
a
ϕ(x) dx и
lim
Y 3y→y
(0)
Z
b
a
f(x, y) dx =
Z
b
a
ϕ(x) dx.
Теорема 6 (об интегрировании под знаком инте-
грала). В условиях теоремы 4 при m = 1, Π = [c, d]
Z
d
c
I(y) dy =
Z
d
c
Z
b
a
f(x, y) dx
dy =
Z
b
a
Z
d
c
f(x, y) dy
dx. (6)
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу непрерывности функции f
на [a, η] × [c, d] при a < η < b
Z
d
c
Z
η
a
f(x, y) dx dy =
Z
η
a
Z
d
c
f(x, y) dy dx. (7)
Перейдем в этом равенстве к пределу при η → b − 0. Левая
часть (7) имеет конечный предел
Z
d
c
Z
b
a
f(x, y) dx dy =
Z
d
c
I(y) dy
— интеграл от непрерывной на [c, d] в силу теоремы 4 функции.
В самом деле,
Z
d
c
Z
b
a
f(x, y) dx dy −
Z
d
c
Z
η
a
f(x, y) dx dy
6
      § 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра   181

существует такое δε > 0, что |I(y + ∆y) − I(y)| 6 ε + ε + ε = 3ε,
если |∆y| 6 δε , что и означает непрерывность I(y) при любом
y ∈ Π, т. е. непрерывность I на Π.
   Упражнение 4. Доказать следующую теорему о предель-
ном переходе под знаком несобственного интеграла.
   Теорема 5. Пусть y (0) — предельная точка множества
Y ⊂ Rm (при m = 1 не исключаются значения y (0) = +∞, −∞,
∞). Пусть функция f : [a, b) × Y → R, [a, b) ⊂ R, при каждом
y ∈ Y непрерывна на [a, b) как функция x и
                   f (x, y) ⇒ ϕ(x) при Y 3 y → y (0) .
                             [a,η]

на любом отрезке [a, η] ⊂ [a, b).
   Пусть интеграл I(y) (1) сходится равномерно на Y .
                   Rb
   Тогда сходится a ϕ(x) dx и
                      Z b               Z b
               lim        f (x, y) dx =     ϕ(x) dx.
                   Y 3y→y (0)        a               a

   Теорема 6 (об интегрировании под знаком инте-
грала). В условиях теоремы 4 при m = 1, Π = [c, d]
  Z d         Z dZ b               Z bZ d          
    I(y) dy =       f (x, y) dx dy =       f (x, y) dy dx. (6)
      c              c       a                       a   c
    Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу непрерывности функции f
на [a, η] × [c, d] при a < η < b
             Z dZ η                   Z ηZ d
                     f (x, y) dx dy =        f (x, y) dy dx. (7)
               c    a                        a   c
Перейдем в этом равенстве к пределу при η → b − 0. Левая
часть (7) имеет конечный предел
               Z dZ b                  Z d
                      f (x, y) dx dy =     I(y) dy
                         c   a                       c
— интеграл от непрерывной на [c, d] в силу теоремы 4 функции.
   В самом деле,
Z dZ b                  Z dZ η
       f (x, y) dx dy −        f (x, y) dx dy 6
  c       a                      c       a

Страницы