Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 177
Упражнение 3. Сформулировать и доказать аналог тео-
ремы 16.3.3.
§ 26.3. Несобственные интегралы, зависящие
от параметра
Будем рассматривать несобственные интегралы
I(y) =
Z
b
a
f(x, y) dx, −∞ < a < b 6 +∞, y ∈ Y (1)
с особенностью на верхнем пределе, где
f : [a, b) × Y → R, [a, b) ⊂ R, Y ⊂ R
m
.
Чаще всего будем считать m = 1 и Y = [c, d].
Напомним, что при написании
R
b
a
f(x, y) dy предполагается,
что функция f (x, y) интегрируема по x по Риману на ∀[a, η] ⊂
⊂ [a, b), т. е. что интеграл
I(y, η) B
Z
η
a
f(x, y) dx, ∀[a, η] ⊂ [a, b) (2)
существует как интеграл Римана.
Напомним, что несобственный интеграл I(y) при фиксиро-
ванном y ∈ Y называется сходящимся и
I(y) = lim
η→b−0
Z
η
a
f(x, y) dx,
если последний предел существует и конечен. В против-
ном случае несобственный интеграл I(y) называется расходя-
щимся.
Определение 1. Говорят, что несобственный интеграл
I(y) (1) сходится равномерно на Y , если
1.
◦
I(y) сходится на Y (т. е. при ∀y ∈ Y ),
2.
◦
sup
y∈Y
Z
b
η
f(x, y) dx
→ 0 при η → b −0.
Поясним, что при выполнении условия 1
◦
при ∀y ∈ Y
Z
b
η
f(x, y) dx
→ 0 при η → b − 0, (3)
  § 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра   177

   Упражнение 3. Сформулировать и доказать аналог тео-
ремы 16.3.3.

   § 26.3. Несобственные интегралы, зависящие
                   от параметра
   Будем рассматривать несобственные интегралы
            Z b
     I(y) =     f (x, y) dx, −∞ < a < b 6 +∞, y ∈ Y         (1)
                  a
с особенностью на верхнем пределе, где
            f : [a, b) × Y → R,   [a, b) ⊂ R,   Y ⊂ Rm .
Чаще всего будем считать m = 1 и Y = [c, d].
                                        Rb
   Напомним, что при написании a f (x, y) dy предполагается,
что функция f (x, y) интегрируема по x по Риману на ∀ [a, η] ⊂
⊂ [a, b), т. е. что интеграл
                         Z η
               I(y, η) B     f (x, y) dx, ∀ [a, η] ⊂ [a, b) (2)
                        a
существует как интеграл Римана.
   Напомним, что несобственный интеграл I(y) при фиксиро-
ванном y ∈ Y называется сходящимся и
                             Z η
                 I(y) = lim      f (x, y) dx,
                            η→b−0 a

если последний предел существует и конечен. В против-
ном случае несобственный интеграл I(y) называется расходя-
щимся.
   Определение 1. Говорят, что несобственный интеграл
I(y) (1) сходится равномерно на Y , если
    1.◦ I(y) сходится на Y (т. е. при ∀ y ∈ Y ),
             Z b
    2.◦ sup      f (x, y) dx → 0 при η → b − 0.
      y∈Y     η
   Поясним, что при выполнении условия 1◦ при ∀ y ∈ Y
            Z b
                f (x, y) dx → 0 при η → b − 0,              (3)
                  η

Страницы