Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 173 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§26.1. Интегралы Римана, зависящие от параметра 173
6
Z
b
a
∂f
∂y
(x, y + θ∆y) −
∂f
∂y
(x, y)
dx 6 (b − a)ω
|∆y|,
∂f
∂y
,
где ω
δ,
∂f
∂y
— модуль непрерывности функции
∂f
∂y
на [a, b] ×
×[c, d]. В силу непрерывности, а значит, и равномерной непре-
рывности
∂f
∂y
на [a, b] × [c, d]
ω
|y|,
∂f
∂y
→ 0 при |∆y| → 0.
Из приведенных оценок получаем теперь, что существует
dI(y)
dy
B lim
∆y→0
I(y + ∆y) − I(y)
∆y
=
Z
b
a
∂f
∂y
(x, y) dx,
что и требовалось доказать.
Теорема 5. Пусть функции f и
∂f
∂y
непрерывны на
[a, b] × [c, d], ϕ, ψ — непрерывно дифференцируемы на [c, d],
a 6 ϕ(y) 6 ψ(y) 6 b при y ∈ [c, d].
Тогда на отрезке [c, d] существует производная
dJ(y)
dy
=
d
dy
Z
ψ(y)
ϕ(y)
f(x, y) dx =
=
Z
ψ(y)
ϕ(y)
∂f
∂y
f(x, y) dx+f (ψ(y), y)
dψ
dy
(y)−f (ϕ(y), y)
dϕ
dy
(y). (1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим на [c, d] × [a, b] × [a, b]
функцию
F (y, u, v) B
Z
v
u
f(x, y) dx.
Тогда
J(y) = F (y, ϕ(y), ψ(y)).
Формула (1) получается, очевидно, при дифференцирова-
нии последнего равенства в соответствии с правилами диф-
ференцирования интеграла с переменным верхним (нижним)
пределом и дифференцирования сложной функции. Для об-
      § 26.1. Интегралы Римана, зависящие от параметра           173
      Z   b                                                      
           ∂f                    ∂f                            ∂f
  6            (x, y + θ∆y) −       (x, y) dx 6 (b − a)ω |∆y|,      ,
        a ∂y                     ∂y                            ∂y
             
где ω δ, ∂f                                             ∂f
           ∂y — модуль непрерывности функции ∂y на [a, b] ×
× [c, d]. В силу непрерывности, а значит, и равномерной непре-
рывности ∂f  ∂y на [a, b] × [c, d]
                            
                          ∂f
                 ω |y|,         → 0 при |∆y| → 0.
                          ∂y
   Из приведенных оценок получаем теперь, что существует
                                      Z b
      dI(y)        I(y + ∆y) − I(y)       ∂f
            B lim                   =        (x, y) dx,
       dy     ∆y→0       ∆y            a ∂y
что и требовалось доказать.

     Теорема 5. Пусть функции f и ∂f             ∂y непрерывны на
[a, b] × [c, d], ϕ, ψ — непрерывно дифференцируемы на [c, d],
a 6 ϕ(y) 6 ψ(y) 6 b при y ∈ [c, d].
     Тогда на отрезке [c, d] существует производная
                Z ψ(y)
dJ(y)       d
        =              f (x, y) dx =
  dy       dy ϕ(y)
   Z ψ(y)
           ∂f                          dψ                 dϕ
=              f (x, y) dx+f (ψ(y), y)    (y)−f (ϕ(y), y)    (y). (1)
     ϕ(y)  ∂y                          dy                 dy

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим на [c, d] × [a, b] × [a, b]
функцию                            Z v
                     F (y, u, v) B     f (x, y) dx.
                                   u
   Тогда
                  J(y) = F (y, ϕ(y), ψ(y)).
   Формула (1) получается, очевидно, при дифференцирова-
нии последнего равенства в соответствии с правилами диф-
ференцирования интеграла с переменным верхним (нижним)
пределом и дифференцирования сложной функции. Для об-

Страницы