Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 171 стр.

                Глава 26
         ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ
             ОТ ПАРАМЕТРА

        § 26.1. Интегралы Римана, зависящие
                    от параметра
   Интегралы Римана вида
              Z b                                Z   ψ(y)
       I(y) =     f (x, y) dx,          J(y) =               f (x, y) dx
                     a                            ϕ(y)

называются интегралами, зависящими от параметра. Здесь
будут изучены такие их свойства, как непрерывность, инте-
грирование и дифференцирование по параметру y.

   Теорема 1. Пусть функция f непрерывна на [a, b] × [c, d].
                     Rb
Тогда интеграл I(y) = a f (x, y) dx непрерывен на [c, d].
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y ∈ [c, d], y + ∆y ∈ [c, d].
Тогда
                         Z b                    Z b
|I(y + ∆y) − I(y)| =         f (x, y + ∆y) dx −     f (x, y) dx 6
                              a                          a
                 Z   b
             6           |f (x, y + ∆y) − f (x, y)| dx 6 (b − a)ω(|∆y|, f ),
                 a
где ω(∆, f ) — модуль непрерывности функции f . В силу не-
прерывности, а значит, и равномерной непрерывности функ-
ции f на [a, b] × [c, d] ω(δ, f ) → 0 при δ → 0, откуда и следует
утверждение теоремы.

   Теорема 2. Пусть функции ϕ, ψ непрерывны на [c, d],
ϕ(y) 6 ψ(y) при y ∈ [c, d], G = {(x, y): ϕ(y) 6 x 6 ψ(y),
c 6 y 6 d}.
   Пусть f — непрерывна на G. Тогда интеграл J(y) =
  R ψ(y)
= ϕ(y) f (x, y) dx непрерывен на [c, d].