Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним 165
(α
k
— коэффициенты Фурье элемента x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно воспользоваться тео-
ремой 4 для каждого x ∈ R.
Теорема 6 (Рисса–Фишера). Пусть {e
k
}
∞
k=1
— ортого-
нальная система в гильбертовом пространстве H, и пусть дей-
ствительные числа α
1
, α
2
, α
3
, . . . таковы, что ряд
∞
X
k=1
α
2
k
ke
k
k
2
(9)
сходится. Тогда ряд
∞
P
k=1
α
k
e
k
сходится в H к некоторому эле-
менту x ∈ H:
∞
X
k=1
α
k
e
k
= x.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу сходимости ряда (9) ∀ε > 0
∃n
ε
∈ N такое, что
n+p
X
k=n+1
α
k
e
k
2
=
n+p
X
k=n+1
α
2
k
ke
k
k
2
< ε ∀n > n
ε
, ∀p ∈ N,
см. теорему 16.1.2 (критерий Коши сходимости числового
ряда). Это значит, что последовательность
n
P
k=1
α
k
e
k
∞
n=1
является фундаментальной в H, а значит, и сходящейся в H
(в силу полноты H) к некоторому x ∈ H. Тогда
∞
P
k=1
α
k
e
k
= x
по определению суммы ряда в H.
Лемма 3. Пусть {e
k
}
∞
k=1
— ортогональная система в гиль-
бертовом пространстве H. Тогда для ∀x ∈ H сходится (в H)
его ряд Фурье по этой системе:
∞
X
k=1
α
k
e
k
=
∞
X
k=1
(x, e
k
)
ke
k
k
2
e
k
= x
0
,
причем (x − x
0
, e
j
) = 0 ∀j ∈ N.
      § 25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним                       165

(αk — коэффициенты Фурье элемента x).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно воспользоваться тео-
ремой 4 для каждого x ∈ R.
   Теорема 6 (Рисса–Фишера). Пусть {ek }∞          k=1 — ортого-
нальная система в гильбертовом пространстве H, и пусть дей-
ствительные числа α1 , α2 , α3 , . . . таковы, что ряд
                         X ∞
                              αk2 kek k2                     (9)
                                     k=1
                               ∞
                               P
сходится. Тогда ряд                  αk ek сходится в H к некоторому эле-
                               k=1
менту x ∈ H:
                                     ∞
                                     X
                                           αk ek = x.
                                     k=1
    Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу сходимости ряда (9) ∀ ε > 0
∃ nε ∈ N такое, что
       n+p            2        n+p
       X                       X
              αk ek       =           αk2 kek k2 < ε ∀ n > nε ,    ∀ p ∈ N,
      k=n+1                   k=n+1

см.  теорему 16.1.2 (критерий Коши сходимости
                                           n числового
                                                    ∞
                                            P
ряда). Это значит, что последовательность     αk ek
                                                                  k=1         n=1
является фундаментальной в H, а значит, и сходящейся в H
                                              ∞
                                              P
(в силу полноты H) к некоторому x ∈ H. Тогда    αk ek = x
                                                                  k=1
по определению суммы ряда в H.
    Лемма 3. Пусть {ek }∞k=1 — ортогональная система в гиль-
бертовом пространстве H. Тогда для ∀ x ∈ H сходится (в H)
его ряд Фурье по этой системе:
                ∞           ∞
                X          X   (x, ek )
                   αk ek =              ek = x0 ,
                               kek k2
                      k=1              k=1
причем (x − x0 , ej ) = 0 ∀ j ∈ N.

Страницы