Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним 163
Следствие 1.
kx − S
n
(x)k 6 kx − S
m
(x)k при n > m.
Теорема 3 (неравенство Бесселя). Пусть x ∈ R, α
k
—
его коэффициенты Фурье по ортогональной системе {e
k
}
∞
k=1
.
Тогда справедливо неравенство Бесселя:
∞
X
k=1
α
2
k
ke
k
k
2
6 kxk
2
. (7)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (6) имеем
n
X
k=1
α
2
k
ke
k
k
2
=
n
X
k=1
α
k
e
k
2
= kS
n
k
2
6 kxk
2
.
Отсюда следует (7).
Следствие 2. Коэффициенты Фурье обладают свойством
α
k
ke
k
k → 0 (k → ∞),
а если система {e
k
}
∞
k=1
— ортонормированная, то
∞
X
k=1
α
2
k
< ∞, α
k
→ 0 (k → ∞).
Упражнение 1. В условиях теоремы 4 (см. ниже) дока-
зать, что 2
◦
⇒ 3
◦
с помощью почленного скалярного умноже-
ния ряда из 2
◦
на x.
Теорема 4. Пусть {e
k
}
∞
k=1
— ортогональная последова-
тельность в R. Тогда для каждого элемента x ∈ R следу-
ющие утверждения эквивалентны (α
k
— коэффициент Фурье
элемента x):
1.
◦
для ∀ε > 0 существует полином
n
P
k=1
c
k
e
k
по системе
{e
k
}
∞
k=1
, для которого
x −
n
X
k=1
c
k
e
k
< ε,
     § 25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним                     163

   Следствие 1.
             kx − Sn (x)k 6 kx − Sm (x)k                  при n > m.

   Теорема 3 (неравенство Бесселя). Пусть x ∈ R, αk —
его коэффициенты Фурье по ортогональной системе {ek }∞
                                                     k=1 .
Тогда справедливо неравенство Бесселя:
                    ∞
                    X
                       αk2 kek k2 6 kxk2 .            (7)
                               k=1

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (6) имеем
            n                        n             2
            X                        X
                  αk2 kek k2   =           αk ek       = kSn k2 6 kxk2 .
            k=1                      k=1
Отсюда следует (7).
   Следствие 2. Коэффициенты Фурье обладают свойством
                          αk kek k → 0         (k → ∞),
а если   система {ek }∞
                      k=1 — ортонормированная, то
                X∞
                    αk2 < ∞, αk → 0 (k → ∞).
                k=1

   Упражнение 1. В условиях теоремы 4 (см. ниже) дока-
зать, что 2◦ ⇒ 3◦ с помощью почленного скалярного умноже-
ния ряда из 2◦ на x.
   Теорема 4. Пусть {ek }∞k=1 — ортогональная последова-
тельность в R. Тогда для каждого элемента x ∈ R следу-
ющие утверждения эквивалентны (αk — коэффициент Фурье
элемента x):
                                       n
   1.◦ для ∀ ε > 0 существует полином
                                      P
                                         ck ek по системе
                                                             k=1
         {ek }∞
              k=1 , для которого
                                            n
                                            X
                                     x−            ck ek < ε,
                                            k=1

Страницы