Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

160 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
Пример 2. Последовательность комплекснозначных функ-
ций {e
ikx
}
+∞
k=−∞
ортогональна относительно скалярного произ-
ведения
(f, g) =
Z
2π
0
f(x)¯g(x) dx.
Пример 3. Последовательность {P
n
}
∞
n=0
многочленов Ле-
жандра ортогональна относительно скалярного произведения
(f, g) =
Z
1
−1
f(x)g(x) dx.
Здесь P
0
(x) = 1, P
n
(x) =
1
2
n
n!
d
n
(x
2
− 1)
n
dx
n
, n ∈ N.
Покажем, что полином Лежандра P
n
ортогонален любому
многочлену Q
m
степени m < n.
Учитывая, что (x
2
− 1)
(k)
при 0 6 k 6 n − 1 обращается в
нуль в точках x = ±1, с помощью интегрирования по частям
получаем
Z
1
−1
Q
m
(x)
d
n
(x
2
− 1)
n
dx
n
dx = −
Z
1
−1
Q
0
m
(x)
d
n−1
(x
2
− 1)
n
dx
n−1
dx =
=
Z
1
−1
Q
00
m
(x)
d
n−2
(x
2
− 1)
n
dx
n−2
dx = . . . =
= (−1)
m
Q
(m)
m
(x)
d
n−m−1
(x
2
− 1)
n
dx
n−m−1
1
−1
= 0. (1)
В частности,
R
1
−1
P
m
(x)P
n
(x) dx = 0, 0 6 m < n.
Вычислим норму многочлена Лежандра
P
n
(x) =
(2n − 1)!!
n!
x
n
+ Q
n−1
(x),
где Q
n−1
— многочлен степени не выше n − 1. Используя (1)
и интегрируя несколько раз по частям, получаем
Z
1
−1
P
2
n
(x) dx =
(2n − 1)!!
n!
Z
1
−1
P
n
(x)x
n
dx =
=
(2n − 1)!!
n!(2n)!!
Z
1
−1
d
n
(x
2
− 1)
n
dx
n
x
n
dx =
160 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

   Пример 2. Последовательность комплекснозначных функ-
ций {eikx }+∞
           k=−∞ ортогональна относительно скалярного произ-
ведения                   Z       2π
                   (f, g) =            f (x)ḡ(x) dx.
                              0
  Пример 3. Последовательность {Pn }∞     n=0 многочленов Ле-
жандра ортогональна относительно скалярного произведения
                          Z 1
                 (f, g) =     f (x)g(x) dx.
                              −1

                                         dn (x2 − 1)n
    Здесь P0 (x) = 1, Pn (x) = 2n1n!      dxn    , n ∈ N.
    Покажем, что полином Лежандра Pn ортогонален любому
многочлену Qm степени m < n.
    Учитывая, что (x2 − 1)(k) при 0 6 k 6 n − 1 обращается в
нуль в точках x = ±1, с помощью интегрирования по частям
получаем
Z 1                               Z 1
           dn (x2 − 1)n                 0     dn−1 (x2 − 1)n
    Qm (x)                dx = −       Qm (x)                dx =
 −1             dxn                 −1            dxn−1
                Z 1
                             dn−2 (x2 − 1)n
             =      Q00m (x)                dx = . . . =
                 −1             dxn−2
                                                            1
                                         dn−m−1 (x2 − 1)n
                 = (−1)m Q(m)
                          m (x)                                  = 0. (1)
                                            dxn−m−1         −1
               R1
   В частности, −1 Pm (x)Pn (x) dx = 0, 0 6 m < n.
   Вычислим норму многочлена Лежандра
                          (2n − 1)!! n
               Pn (x) =              x + Qn−1 (x),
                               n!
где Qn−1 — многочлен степени не выше n − 1. Используя (1)
и интегрируя несколько раз по частям, получаем
Z 1
                 (2n − 1)!! 1
                            Z
    Pn2 (x) dx =                Pn (x)xn dx =
 −1                  n!      −1
                  (2n − 1)!! 1 dn (x2 − 1)n n
                             Z
               =                             x dx =
                   n!(2n)!! −1       dxn

Страницы