Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

158 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва
Мы будем рассматривать лишь сепарабельные предгиль-
бертовы и гильбертовы пространства, т. е. такие, в которых
существует счетное плотное множество.
Пример 6. Пространство l
2
с элементами
x = (x
1
, x
2
, . . .), где x
i
∈ R,
∞
X
i=1
x
2
i
< ∞,
и скалярным произведением
(x, y) =
∞
X
i=1
x
i
y
i
является сепарабельным гильбертовым.
Сходимость последнего ряда (даже абсолютная сходи-
мость) следует из оценки
∞
X
i=1
|x
i
y
i
| 6
1
2
∞
X
i=1
|x
2
i
| +
∞
X
i=1
|y
i
|
2
!
.
Аксиомы гильбертова пространства проверяются непосред-
ственно. Плотным в l
2
является счетное множество всех его
элементов x со всеми рациональными координатами x
i
.
Пример 7. Пространство CL
2
([a, b]) из примера 2 явля-
ется сепарабельным предгильб е ртовым пространством.
Упражнение 2. Доказать, что плотным множеством в
CL
2
([a, b]) является множество всех многочленов с рациональ-
ными коэффициентами. Это можно сделать с помощью те-
оремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции
многочленами.
Пример 8. Пространство L
2
((a, b)), (a, b) ⊂ (−∞, +∞), из
примера 25.2.7 является гильбертовым, если под элементами
L
2
((a, b)) понимать функции и не различать две функции, от-
личающиеся лишь на множестве лебеговой меры нуль.
Счетным плотным множеством в L
2
((a, b)) является мно-
жество финитных ступенчатых функций с рациональными па-
раметрами.
158 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

   Мы будем рассматривать лишь сепарабельные предгиль-
бертовы и гильбертовы пространства, т. е. такие, в которых
существует счетное плотное множество.
   Пример 6. Пространство l2 с элементами
                                                        ∞
                                                        X
         x = (x1 , x2 , . . .),   где xi ∈ R,                 x2i < ∞,
                                                        i=1
и скалярным произведением
                                       ∞
                                       X
                            (x, y) =          xi yi
                                        i=1

является сепарабельным гильбертовым.
   Сходимость последнего ряда (даже абсолютная сходи-
мость) следует из оценки
              ∞               ∞         ∞
                                                 !
             X              1 X 2       X
                                               2
                 |xi yi | 6     |xi | +   |yi | .
                            2
               i=1                i=1             i=1

    Аксиомы гильбертова пространства проверяются непосред-
ственно. Плотным в l2 является счетное множество всех его
элементов x со всеми рациональными координатами xi .
    Пример 7. Пространство CL2 ([a, b]) из примера 2 явля-
ется сепарабельным предгильбертовым пространством.
    Упражнение 2. Доказать, что плотным множеством в
CL2 ([a, b]) является множество всех многочленов с рациональ-
ными коэффициентами. Это можно сделать с помощью те-
оремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции
многочленами.
    Пример 8. Пространство L2 ((a, b)), (a, b) ⊂ (−∞, +∞), из
примера 25.2.7 является гильбертовым, если под элементами
L2 ((a, b)) понимать функции и не различать две функции, от-
личающиеся лишь на множестве лебеговой меры нуль.
    Счетным плотным множеством в L2 ((a, b)) является мно-
жество финитных ступенчатых функций с рациональными па-
раметрами.

Страницы