Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§25.3. Евклидовы и гильбертовы пространства 155
Выполнение для kxk всех аксиом нормы очевидно, за ис-
ключением неравенства треугольника. Установим его, дока-
зав предварительно неравенство Коши–Буняковского:
|(x, y)| 6 kxk · kyk. (2)
Рассмотрим квадратный трехчлен
(tx + y, tx + y)
2
= t
2
(x, x) + 2(x, y) + (y, y) =
= kxk
2
t
2
+ 2(x, y)t + kyk
2
.
Так как он неотрицателен (по свойству 4
◦
скалярного про-
изведения), то его дискриминант 4|(x, y)|
2
− 4kxk
2
· kyk
2
6 0,
откуда и следует (2).
С помощью (2) получаем неравенство
kx + yk
2
= (x + y, x + y) = kxk
2
+ 2(x, y) + kyk
2
6
6 kxk
2
+ 2kxk · kyk + kyk
2
= (kxk + kyk)
2
,
равносильное неравенству треугольника:
kx + yk 6 kxk + kyk.
Приведем примеры евклидовых пространств.
Пример 1. Пространство R
n
точек x = (x
1
, . . . , x
n
) с
вещественными координатами и скалярным произведением
(x, y) =
n
X
i=1
x
i
y
i
(где x = (x
1
, . . . , x
n
), y = (y
1
, . . . , y
n
)).
Пример 2. CL
2
([a, b]) — линейное пространство непре-
рывных на отрезке [a, b] функций со скалярным произведением
(f, g) =
R
b
a
f(t)g(t) dt, где f, g: [a, b] → R.
Вводя норму
kfk = kf k
L
2
([a,b])
=
p
(f, f) =
s
Z
b
a
f(t)
2
dt,
получаем, что CL
2
([a, b]) совпадает с линейным нормирован-
ным пространством CL
2
([a, b]) из примера 25.2.2.
         § 25.3. Евклидовы и гильбертовы пространства                          155

   Выполнение для kxk всех аксиом нормы очевидно, за ис-
ключением неравенства треугольника. Установим его, дока-
зав предварительно неравенство Коши–Буняковского:
                             |(x, y)| 6 kxk · kyk.                             (2)


   Рассмотрим квадратный трехчлен
(tx + y, tx + y)2 = t2 (x, x) + 2(x, y) + (y, y) =
                                                 = kxk2 t2 + 2(x, y)t + kyk2 .
   Так как он неотрицателен (по свойству 4◦ скалярного про-
изведения), то его дискриминант 4|(x, y)|2 − 4kxk2 · kyk2 6 0,
откуда и следует (2).
   С помощью (2) получаем неравенство
kx + yk2 = (x + y, x + y) = kxk2 + 2(x, y) + kyk2 6
                            6 kxk2 + 2kxk · kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 ,
равносильное неравенству треугольника:
                            kx + yk 6 kxk + kyk.
   Приведем примеры евклидовых пространств.
   Пример 1. Пространство Rn точек x = (x1 , . . . , xn ) с
вещественными координатами и скалярным произведением
             n
             X
  (x, y) =         xi yi   (где x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn )).
             i=1

    Пример 2. CL2 ([a, b]) — линейное пространство непре-
рывных на отрезке [a, b] функций со скалярным произведением
        Rb
(f, g) = a f (t)g(t) dt, где f, g: [a, b] → R.
    Вводя норму
                                             s
                                  p            Z b
          kf k = kf kL2 ([a,b]) = (f, f ) =        f (t)2 dt,
                                                         a

получаем, что CL2 ([a, b]) совпадает с линейным нормирован-
ным пространством CL2 ([a, b]) из примера 25.2.2.

Страницы