Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§25.2. Пространства CL
1
, CL
2
, RL
1
, RL
2
, L
1
, L
2
153
число y
k
, близкое к значениям f в любой точке e
k
. В то же
время при построении интегральной суммы Римана
k
X
i=1
f(ξ
i
)(x
i
− x
i−1
), ξ
i
∈ [x
i−1
, x
i
],
представителем функции f на отрезке [x
i−1
, x
i
] выступает чи-
сло f(ξ
i
) — значение функции f в одной из точек отрезка. Та-
кой представитель может считаться удачным, если f мало ме-
няется на отрезке разбиения (например, если f непрерывна на
[a, b]).
В общем же случае, число f (ξ
i
) не обязательно является
удачным представителем значений f на [x
i−1
, x
i
].
Естественно ожидать (и легко показывается), что функция,
интегрируемая по Риману, интегрируема и по Лебегу, и эти
интегралы совпадают.
С другой стороны, функция f: [0, 1] → R,
(
1, если x рационально,
0, если x иррационально
интегрируема по Лебегу (и ее интеграл Леб е га равен нулю),
но не интегрируема по Риману. Таким образом, понятие инте-
грала Лебега шире понятия интеграла Римана.
Пример 6. Обозначим через L((a, b)) = L
1
((a, b)) полунор-
мированное пространство интегрируемых по Лебегу на (a, b) ⊂
⊂ (−∞, +∞) функций с полунормой (1), интеграл в которой
понимается как интеграл Лебега. Тогда можно показать, что
пространство L
1
((a, b)) является полным и что RL
1
((a, b)), а
значит, в силу леммы 1 и C
0
L
1
((a, b)) плотны в нем. Согласно
определению пополнения, пространство L
1
((a, b)) является по-
полнением как пространства RL
1
((a, b)), так и пространства
C
0
L
1
((a, b)).
Пример 7. Обозначим через L
2
((a, b)) полунормирован-
ное пространство измеримых по Лебегу на (a, b) ∈ (−∞, +∞)
функций, квадрат которых интегрируем по Л ебегу. Полу-
норму в нем зададим равенством (2), интеграл в котором по-
нимается как интеграл Лебега. Можно показать, что про-
       § 25.2. Пространства CL1 , CL2 , RL1 , RL2 , L1 , L2     153

число yk , близкое к значениям f в любой точке ek . В то же
время при построении интегральной суммы Римана
              k
              X
                    f (ξi )(xi − xi−1 ),   ξi ∈ [xi−1 , xi ],
              i=1
представителем функции f на отрезке [xi−1 , xi ] выступает чи-
сло f (ξi ) — значение функции f в одной из точек отрезка. Та-
кой представитель может считаться удачным, если f мало ме-
няется на отрезке разбиения (например, если f непрерывна на
[a, b]).
     В общем же случае, число f (ξi ) не обязательно является
удачным представителем значений f на [xi−1 , xi ].
     Естественно ожидать (и легко показывается), что функция,
интегрируемая по Риману, интегрируема и по Лебегу, и эти
интегралы совпадают.
     С другой стороны, функция f : [0, 1] → R,
                   (
                    1, если x рационально,
                    0, если x иррационально
интегрируема по Лебегу (и ее интеграл Лебега равен нулю),
но не интегрируема по Риману. Таким образом, понятие инте-
грала Лебега шире понятия интеграла Римана.
    Пример 6. Обозначим через L((a, b)) = L1 ((a, b)) полунор-
мированное пространство интегрируемых по Лебегу на (a, b) ⊂
⊂ (−∞, +∞) функций с полунормой (1), интеграл в которой
понимается как интеграл Лебега. Тогда можно показать, что
пространство L1 ((a, b)) является полным и что RL1 ((a, b)), а
значит, в силу леммы 1 и C0 L1 ((a, b)) плотны в нем. Согласно
определению пополнения, пространство L1 ((a, b)) является по-
полнением как пространства RL1 ((a, b)), так и пространства
C0 L1 ((a, b)).
    Пример 7. Обозначим через L2 ((a, b)) полунормирован-
ное пространство измеримых по Лебегу на (a, b) ∈ (−∞, +∞)
функций, квадрат которых интегрируем по Лебегу. Полу-
норму в нем зададим равенством (2), интеграл в котором по-
нимается как интеграл Лебега. Можно показать, что про-

Страницы