Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 29
график f ломаную). Обозначим через a
k
(f), b
k
(f) — коэффици-
енты Фурье функции f. Из (5.2) следует неравенство
a
2
0
(Λ
J
)
2
+
n
X
k=1
(a
2
k
(Λ
J
) + b
2
k
(Λ
J
)) 6
6
1
π
Z
π
−π
Λ
2
J
(x) dx ∀ n ∈ N. (5.8)
Пусть n ∈ N фиксировано, а J → ∞. Тогда, как легко ви-
деть,
a
k
(Λ
J
) → a
k
(f), b
k
(Λ
J
) → b
k
(f),
Z
π
−π
Λ
2
J
(x) dx →
Z
π
−π
f
2
(x) dx.
Переходя к пределу в неравенстве (5.5), получаем, что
a
0
(f)
2
+
n
X
k=1
(a
2
k
(f) + b
2
k
(f)) 6
1
π
Z
π
−π
f
2
(x) dx.
Переходя в последнем неравенстве к пределу при n → ∞,
приходим к утверждению леммы.
Теорема 5.2
0
. Пусть при m ∈ N 2π-периодическая функция
f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включи-
тельно и кусочно-непрерывную производную f
(m)
.
Тогда ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на
R и
max
x∈R
|f(x) − S
n
(x; f)| = o
1
n
m−
1
2
при n → ∞. (5.9)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Равномерная сходимость к функции
f ее ряда Фурье установлена в теореме 3.1. Оценим остаток ее
ряда Фурье.
|r
n
(x; f)| =
∞
X
k=n+1
a
k
cos kx + b
k
sin kx
6
6
∞
X
k=n+1
(|a
k
| + |b
k
|) 6
∞
X
k=n+1
(|α
k
| + |β
k
|)
1
k
m
,
           §5. Почленное дифференцирование рядов Фурье.                                29

график f ломаную). Обозначим через ak (f ), bk (f ) — коэффици-
енты Фурье функции f . Из (5.2) следует неравенство
            n
a20 (ΛJ ) X 2
         +     (ak (ΛJ ) + b2k (ΛJ )) 6
     2
           k=1
                                        1 π 2
                                         Z
                                     6      Λ (x) dx ∀ n ∈ N. (5.8)
                                        π −π J
    Пусть n ∈ N фиксировано, а J → ∞. Тогда, как легко ви-
деть,
                                         Z π          Z π
 ak (ΛJ ) → ak (f ), bk (ΛJ ) → bk (f ),   ΛJ (x) dx → f 2 (x) dx.
                                             2
                                                    −π                   −π
    Переходя к пределу в неравенстве (5.5), получаем, что
                   n
                                           1 π 2
                                            Z
          a0 (f ) X 2            2
                 +   (ak (f ) + bk (f )) 6      f (x) dx.
            2                              π −π
                         k=1
   Переходя в последнем неравенстве к пределу при n → ∞,
приходим к утверждению леммы.
   Теорема 5.20 . Пусть при m ∈ N 2π-периодическая функция
f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включи-
тельно и кусочно-непрерывную производную f (m) .
   Тогда ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на
Rи
                                        
                                     1
    max |f (x) − Sn (x; f )| = o       1   при n → ∞. (5.9)
     x∈R                           nm− 2
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Равномерная сходимость к функции
f ее ряда Фурье установлена в теореме 3.1. Оценим остаток ее
ряда Фурье.
                  ∞
                  X
|rn (x; f )| =           ak cos kx + bk sin kx 6
                 k=n+1
                                ∞                           ∞
                                X                           X                         1
                           6           (|ak | + |bk |) 6           (|αk | + |βk |)      ,
                                                                                     km
                               k=n+1                       k=n+1

Страницы