ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
30 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье
где α
k
, β
k
— коэффициенты Фурье функции f
(m)
, а последнее
неравенство получено m-кратным применением теоремы 5.1. В
силу неравенства Коши–Шварца
N
X
k=n+1
(|α
k
| + |β
k
|)
1
k
m
6
v
u
u
t
N
X
k=n+1
(|α
k
| + |β
k
|)
2
v
u
u
t
N
X
k=n+1
1
k
2m
.
Предельный переход в последнем неравенстве при N → ∞
показывает, что оно остается верным, если в нем вместо N по-
ставить ∞. Используя его, получаем, что
|r
n
(x; f )| 6
v
u
u
t
2
∞
X
k=n+1
(α
2
k
+ β
2
k
)
v
u
u
t
∞
X
k=n+1
1
k
2m
=
= ε
n
v
u
u
t
∞
X
k=n+1
1
k
2m
, (5.10)
причем ε
n
→ 0 (n → ∞) в силу сходимости ряда
∞
P
k=1
(α
2
k
+
+ β
2
k
), вытекающей из неравенства Бесселя для функции f
(m)
(см. лемму 5.3). Заметим, что
∞
X
k=n+1
1
k
2m
6
∞
X
k=n+1
Z
m
k−1
dx
x
2m
6
Z
∞
n
dx
x
2m
=
1
(2m − 1)n
2m−1
.
Отсюда и из (5.10) следует (5.9).
Заключительное замечание
В этом пособии не рассмотрены вопросы почленного инте-
грирования рядов Фурье, рядов Фурье 2l-периодических функ-
ций и комплексной формы рядов Фурье. Стандартное изложе-
ние этих вопросов можно найти во многих учебниках.
Мы не коснулись также вопросов сходимости рядов Фурье в
смысле среднего квадратичного, в которых в полной мере про-
30 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье
где αk , βk — коэффициенты Фурье функции f (m) , а последнее
неравенство получено m-кратным применением теоремы 5.1. В
силу неравенства Коши–Шварца
v v
N u N u N
X 1 u X
2
u X 1
(|αk | + |βk |) m 6 t (|αk | + |βk |) t .
k k 2m
k=n+1 k=n+1 k=n+1
Предельный переход в последнем неравенстве при N → ∞
показывает, что оно остается верным, если в нем вместо N по-
ставить ∞. Используя его, получаем, что
v v
∞
u ∞
u X u X
u 2 2 1
|rn (x; f )| 6 2
t (αk + βk )t 2m
=
k
k=n+1 k=n+1
v
u ∞
u X
1
= εn t 2m
, (5.10)
k
k=n+1
∞
(αk2 +
P
причем εn → 0 (n → ∞) в силу сходимости ряда
k=1
+ βk2 ), вытекающей из неравенства Бесселя для функции f (m)
(см. лемму 5.3). Заметим, что
∞ ∞ Z m Z ∞
X 1 X dx dx 1
2m
6 2m
6 2m
= .
k k−1 x n x (2m − 1)n2m−1
k=n+1 k=n+1
Отсюда и из (5.10) следует (5.9).
Заключительное замечание
В этом пособии не рассмотрены вопросы почленного инте-
грирования рядов Фурье, рядов Фурье 2l-периодических функ-
ций и комплексной формы рядов Фурье. Стандартное изложе-
ние этих вопросов можно найти во многих учебниках.
Мы не коснулись также вопросов сходимости рядов Фурье в
смысле среднего квадратичного, в которых в полной мере про-
