Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье
ференциальными свойствами 2π-периодической функции и ско-
ростью сходимости ее ряда Фурье.
Доказательство теоремы 5.2
0
в отличие от теоремы 5.2 опи-
рается не на анализ сходимости сопряженного с рядом Фурье
ряда, а на неравенство Бесселя (5.2), которое будет предвари-
тельно установлено.
Читатель может по своему усмотрению ограничиться изуче-
нием одной из этих двух теорем.
Лемма 5.3. Пусть f — 2π-периодическая и кусочно-непре-
рывная функция, a
k
, b
k
— ее коэффициенты Фурье.
Тогда справедливо неравенство Бесселя (5.2).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала f является 2π-перио-
дической непрерывной и кусочно-непрерывно дифференцируе-
мой функцией. По теореме 5.2, она раскладывается в равно-
мерно сходящийся ряд Фурье:
f(x) =
a
0
2
+
∞
X
k=1
a
k
cos kx + b
k
sin kx. (5.6)
Домножим равенство (5.6) почленно на f(x) и проинтегрируем
полученный ряд (также равномерно сходящийся) почленно. По-
лучим в силу формул (1.2) для коэффициентов Фурье равенство
a
0
2
+
∞
X
k=1
(a
2
k
+ b
2
k
) =
1
π
Z
π
−π
f
2
(x) dx, (5.7)
следствием которого является (2.2)
Равенство Парсеваля (5.7) и неравенство Бесселя (5.2) бу-
дут позднее распространены на функции f со значительно более
общими свойствами.
Пусть теперь функция f удовлетворяет условиям леммы и
Λ
J
: R → R — 2π-периодическая непрерывная функция, кусочно
линейная на [−π, π], построенная при доказательстве теоремы
Вейерштрасса 4.1 (график Λ
J
представляет собой вписанную в
28          О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

ференциальными свойствами 2π-периодической функции и ско-
ростью сходимости ее ряда Фурье.
   Доказательство теоремы 5.20 в отличие от теоремы 5.2 опи-
рается не на анализ сходимости сопряженного с рядом Фурье
ряда, а на неравенство Бесселя (5.2), которое будет предвари-
тельно установлено.
   Читатель может по своему усмотрению ограничиться изуче-
нием одной из этих двух теорем.

   Лемма 5.3. Пусть f — 2π-периодическая и кусочно-непре-
рывная функция, ak , bk — ее коэффициенты Фурье.
   Тогда справедливо неравенство Бесселя (5.2).

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала f является 2π-перио-
дической непрерывной и кусочно-непрерывно дифференцируе-
мой функцией. По теореме 5.2, она раскладывается в равно-
мерно сходящийся ряд Фурье:
                             ∞
                        a0 X
              f (x) =     +  ak cos kx + bk sin kx.          (5.6)
                        2
                            k=1

Домножим равенство (5.6) почленно на f (x) и проинтегрируем
полученный ряд (также равномерно сходящийся) почленно. По-
лучим в силу формул (1.2) для коэффициентов Фурье равенство
                  ∞
                                  1 π 2
                                   Z
              a0 X 2        2
                +    (ak + bk ) =      f (x) dx,       (5.7)
              2                   π −π
                    k=1

следствием которого является (2.2)
    Равенство Парсеваля (5.7) и неравенство Бесселя (5.2) бу-
дут позднее распространены на функции f со значительно более
общими свойствами.
    Пусть теперь функция f удовлетворяет условиям леммы и
ΛJ : R → R — 2π-периодическая непрерывная функция, кусочно
линейная на [−π, π], построенная при доказательстве теоремы
Вейерштрасса 4.1 (график ΛJ представляет собой вписанную в

Страницы