Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 27
Пусть теперь m − 1 нечетно. Тогда
|r
n
(x; f)| =
∞
X
k=n+1
a
k
cos kx + b
k
sin kx
=
=
∞
X
k=n+1
1
k
m−1
(α
k
sin kx − β
k
cos kx)
.
Ряд
∞
P
k=n+1
α
k
sin kx − β
k
cos kx сходится по лемме 5.2. Приме-
няя преобразование Абеля и оценку (5.5), получим, что
|r
n
(x; f)| =
∞
X
k=n+1
∞
X
j=n+1
α
j
sin jx − β
j
cos jx
×
×
1
(k + 1)
m−1
−
1
k
m−1
6 C
ln n
n
1
(n + 1)
m−1
6 C
ln n
n
m
,
и теорема доказана.
Теорема 5.2 показывает, что чем больше производных имеет
функция f, тем с большей скоростью сходится ее ряд Фурье.
З а м е ч а н и е. Лемму 5.1 и теорему 5.2 можно перефор-
мулировать для функции f, заданной лишь на отрезке [−π, π],
добавив условия в концах отрезка, гарантирующие выполнение
для ее 2π-периодического продолжения условий соответственно
леммы 5.1 и теоремы 5.2. Именно, следует для функции f:
[−π, π] → R считать выполненными следующие дополнитель-
ные условия на односторонние производные:
f
(j)
(−π) = f
(j)
(π) при j = 0, 1, . . . , m − 1.
При соответствующей переформулировке теоремы 3.1 и те-
оремы 5.1 для функции f: [−π, π] → R следует считать выпол-
ненным равенство f(−π) = f(π).
Наряду с теоремой 5.2 установим и другую теорему 5.2
0
, хотя
и менее сильную, но также указывающую на связь между диф-
           §5. Почленное дифференцирование рядов Фурье.                     27

    Пусть теперь m − 1 нечетно. Тогда
                   ∞
                   X
|rn (x; f )| =            ak cos kx + bk sin kx =
                  k=n+1
                                         ∞
                                         X        1
                                    =                 (αk sin kx − βk cos kx) .
                                                k m−1
                                        k=n+1

            ∞
            P
    Ряд            αk sin kx − βk cos kx сходится по лемме 5.2. Приме-
          k=n+1
няя преобразование Абеля и оценку (5.5), получим, что
                                           
               ∞
               X   X∞
|rn (x; f )| =        αj sin jx − βj cos jx ×
                  k=n+1     j=n+1
                                        
                       1        1                  ln n    1       ln n
          ×              m−1
                             − m−1           6C              m−1
                                                                 6C m ,
                  (k + 1)     k                     n (n + 1)      n
и теорема доказана.
   Теорема 5.2 показывает, что чем больше производных имеет
функция f , тем с большей скоростью сходится ее ряд Фурье.
   З а м е ч а н и е. Лемму 5.1 и теорему 5.2 можно перефор-
мулировать для функции f , заданной лишь на отрезке [−π, π],
добавив условия в концах отрезка, гарантирующие выполнение
для ее 2π-периодического продолжения условий соответственно
леммы 5.1 и теоремы 5.2. Именно, следует для функции f :
[−π, π] → R считать выполненными следующие дополнитель-
ные условия на односторонние производные:
            f (j) (−π) = f (j) (π) при j = 0, 1, . . . , m − 1.

   При соответствующей переформулировке теоремы 3.1 и те-
оремы 5.1 для функции f : [−π, π] → R следует считать выпол-
ненным равенство f (−π) = f (π).
   Наряду с теоремой 5.2 установим и другую теорему 5.20 , хотя
и менее сильную, но также указывающую на связь между диф-

Страницы