Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

26 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье
Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай m = 1 совпадает с теоре-
мой 3.1. Пусть ϕ B f
(m−1)
и α
k
, β
k
— коэффициенты Фурье
функции ϕ. По теореме 3.1
sup
x∈R
∞
X
k=n+1
α
k
cos kx + β
k
sin kx
6 C
ln n
n
∀ n > 2. (5.5)
Пусть a
k
, b
k
— коэффициенты Фурье функции f. Пусть сначала
m−1 — четно. Тогда в силу m−1 раз примененной теоремы 5.1
при x ∈ R имеем
|r
n
(x; f )| =
∞
X
k=n+1
a
k
cos kx + b
k
sin kx
=
=
∞
X
k=n+1
1
k
m−1
(α
k
cos kx + β
k
sin kx)
.
Применим к последнему ряду преобразование Абеля, учиты-
вая сходимость ряда
∞
P
k=n+1
α
k
cos kx + β
k
sin kx и оценку (уста-
новленные в случае m = 1 данной теоремы)
sup
x∈R
∞
X
k=n+1
α
k
cos kx + β
k
sin kx
6 C
ln n
n
.
Получим
|r
n
(x; f )| =
∞
X
k=n+1
∞
X
j=n+1
α
j
cos jx + β
j
sin jx
×
×
1
(k + 1)
m−1
−
1
k
m−1
6 C
ln n
n
∞
X
k=n+1
1
(k + 1)
m−1
−
1
k
m−1
=
= C
ln n
n
1
(n + 1)
m−1
6 C
ln n
n
m
,
и (5.5) в этом случае установлено.
26               О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай m = 1 совпадает с теоре-
мой 3.1. Пусть ϕ B f (m−1) и αk , βk — коэффициенты Фурье
функции ϕ. По теореме 3.1
               ∞
               X                                    ln n
         sup           αk cos kx + βk sin kx 6 C               ∀ n > 2.   (5.5)
         x∈R k=n+1                                   n

Пусть ak , bk — коэффициенты Фурье функции f . Пусть сначала
m−1 — четно. Тогда в силу m−1 раз примененной теоремы 5.1
при x ∈ R имеем
                  ∞
                  X
|rn (x; f )| =           ak cos kx + bk sin kx =
                 k=n+1
                                        ∞
                                        X        1
                                   =                 (αk cos kx + βk sin kx) .
                                               k m−1
                                       k=n+1

   Применим к последнему ряду преобразование Абеля, учиты-
                     ∞
                     P
вая сходимость ряда     αk cos kx + βk sin kx и оценку (уста-
                             k=n+1
новленные в случае m = 1 данной теоремы)
                         ∞
                         X                                     ln n
                 sup         αk cos kx + βk sin kx 6 C              .
                 x∈R k=n+1                                      n

Получим
                                                          
                  ∞
                  X          ∞
                             X
|rn (x; f )| =                    αj cos jx + βj sin jx ×
                 k=n+1     j=n+1
                                              ∞
              1        1                ln n    X           1        1
×               m−1
                    − m−1          6C                         m−1
                                                                  − m−1 =
         (k + 1)     k                   n             (k + 1)     k
                                               k=n+1
                                                  ln n    1       ln n
                                            =C              m−1
                                                                6C m ,
                                                   n (n + 1)      n
и (5.5) в этом случае установлено.

Страницы