Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 25
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим M
1
B max
R
|f
0
|. С помо-
щью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем
|f(x + t) − f(x − t)| 6 2M
1
t, 0 < t 6 π,
откуда следует, в частности, что
˜
f(x) существует для каждого
x (как интеграл от непрерывной на (0, π] и ограниченной функ-
ции). Оценим
˜
f(x) −
˜
S
n
(x; f) = −
1
π
Z
π
0
h
x
(t) cos
n +
1
2
t dt,
используя оценки
|h
x
(t)| 6 πM
1
,
d
dt
h
x
(t)
6 |f
0
(x + t) + f
0
(x − t)|
1
2 sin
t
2
+
+|f(x + h) − f(x − h)|
cos
t
2
4 sin
2
t
2
6
πM
1
t
+
π
2
M
1
2t
6
π
2
M
1
t
.
Так же, как при доказательстве теоремы 1.2 получаем
sup
x∈R
n
|
˜
f(x) −
˜
S
n
(x; f)| 6 C
ln n
n
при n > 2,
откуда следует (5.4).
Теорема 5.2. Пусть при m ∈ N 2π-периодическая функция
f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включи-
тельно и кусочно-непрерывную производную f
(m)
.
Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно и
max
x∈R
|f(x) − S
n
(x; f)| = O
ln n
n
m
=
= o
1
n
m−ε
при n → ∞ и ∀ ε > 0.
          §5. Почленное дифференцирование рядов Фурье.                25

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим M1 B max |f 0 |. С помо-
                                                           R
щью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем
              |f (x + t) − f (x − t)| 6 2M1 t,        0 < t 6 π,
откуда следует, в частности, что f˜(x) существует для каждого
x (как интеграл от непрерывной на (0, π] и ограниченной функ-
ции). Оценим
                                 1 π
                                  Z                  
         ˜                                          1
        f (x) − S̃ n (x; f ) = −     hx (t) cos n +     t dt,
                                 π 0                2
используя оценки
                              |hx (t)| 6 πM1 ,
 d                                          1
    hx (t) 6 |f 0 (x + t) + f 0 (x − t)|          +
 dt                                      2 sin 2t
                                      cos 2t       πM1 π 2 M1   π 2 M1
         +|f (x + h) − f (x − h)|              6      +       6        .
                                     4 sin2 2t      t    2t         t

Так же, как при доказательстве теоремы 1.2 получаем
                                            ln n
             sup |f˜(x) − S̃ n (x; f )| 6 C           при n > 2,
            x∈Rn                             n
откуда следует (5.4).

   Теорема 5.2. Пусть при m ∈ N 2π-периодическая функция
f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включи-
тельно и кусочно-непрерывную производную f (m) .
   Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно и
                                   
                               ln n
max |f (x) − Sn (x; f )| = O          =
x∈R                            nm
                                            
                                         1
                                 =o            при n → ∞ и ∀ ε > 0.
                                        nm−ε

Страницы