Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Почленное дифференцирование рядов Фурье. 23
Лемма 5.1. Пусть 2π-периодическая функция f имеет не-
прерывные производные до порядка m − 1 включительно и ку-
сочно-непрерывную производную порядка m ∈ N.
Тогда для коэффициентов Фурье функции f выполняются
оценки
|a
k
| + |b
k
| = o
1
k
m
при k → ∞. (5.1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m > 1 и
f
(m)
(x) ∼
∞
X
k=1
α
k
cos kx + β
k
sin kx.
Применяя m раз теорему 5.1, получаем, что
|α
k
| + |β
k
| = k
m
(|a
k
| + |b
k
|), k ∈ N
0
.
Поскольку α
k
, β
k
→ 0 (k → ∞) по лемме о стремлении
к нулю коэффициентов Фурье, из последнего равенства полу-
чаем (5.1).
Лемма 5.1 показывает, что коэффициенты Фурье функции f
тем быстрее стремятся к нулю, чем лучше дифф е ренциальные
свойства функции f .
Утверждение леммы 5.1 можно несколько усилить, если ис-
пользовать неравенства Бесселя для кусочно-непрерывных 2π-
периодических функций:
a
0
2
+
∞
X
k=1
(a
2
k
+ b
2
k
) 6
1
π
Z
π
−π
f
2
(x) dx. (5.2)
Это неравенство будет установлено ниже. Применяя (5.2) к
производной f
(m)
, получаем, что в условиях леммы 5.1
∞
X
k=1
k
2m
(a
2
k
+ b
2
k
) 6
1
π
Z
π
−π
(f
(m)
(x))
2
dx < ∞.
Установим оценки скорости приближения функции ее сум-
мами Фурье в зависимости от дифференциальных свойств функ-
ции. Изучим для этого характер с ходимости ряда, сопряжен-
         §5. Почленное дифференцирование рядов Фурье.           23

   Лемма 5.1. Пусть 2π-периодическая функция f имеет не-
прерывные производные до порядка m − 1 включительно и ку-
сочно-непрерывную производную порядка m ∈ N.
   Тогда для коэффициентов Фурье функции f выполняются
оценки                             
                                  1
             |ak | + |bk | = o        при k → ∞.    (5.1)
                                 km
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m > 1 и
                            X∞
                f (m) (x) ∼     αk cos kx + βk sin kx.
                             k=1
Применяя m раз теорему 5.1, получаем, что
              |αk | + |βk | = k m (|ak | + |bk |),   k ∈ N0 .
   Поскольку αk , βk → 0 (k → ∞) по лемме о стремлении
к нулю коэффициентов Фурье, из последнего равенства полу-
чаем (5.1).
   Лемма 5.1 показывает, что коэффициенты Фурье функции f
тем быстрее стремятся к нулю, чем лучше дифференциальные
свойства функции f .
   Утверждение леммы 5.1 можно несколько усилить, если ис-
пользовать неравенства Бесселя для кусочно-непрерывных 2π-
периодических функций:
                    ∞
                                    1 π 2
                                     Z
              a0 X 2
                +     (ak + b2k ) 6      f (x) dx.    (5.2)
              2                     π −π
                      k=1
   Это неравенство будет установлено ниже. Применяя (5.2) к
производной f (m) , получаем, что в условиях леммы 5.1
          ∞
                              1 π (m)
          X                     Z
               2m 2      2
             k (ak + bk ) 6         (f (x))2 dx < ∞.
                              π −π
           k=1
   Установим оценки скорости приближения функции ее сум-
мами Фурье в зависимости от дифференциальных свойств функ-
ции. Изучим для этого характер сходимости ряда, сопряжен-

Страницы