Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Приближение непрерывных функций многочленами. 21
Теорема 4.3 (Вейерштрасса). Пусть функция f непре-
рывна на отрезке [a, b]. Тогда для любого ε > 0 существует
такой алгебраический многочлен P , что
max
a6x6b
|f(x) − P (x)| < ε.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Отобразим линейно отрезок [0, π] на
отрезок [a, b]:
x = a +
b − a
π
t, 0 6 t 6 π, a 6 x 6 b,
и положим f
∗
(t) = f
a +
b − a
π
t
, 0 6 t 6 π. Продолжим ее чет-
ным образом на отрезок [−π, 0] и затем на всю ось с периодом
2π, сохранив обозначение f
∗
. Полученная функция f
∗
: R → R
является 2π-периодической и непрерывной на R. По теореме 4.1
для каждого ε > 0 найдется такой тригонометрический много-
чле н T , что
max
06t6π
|f
∗
(t) − T (t)| 6 max
x∈R
|f
∗
(t) − T (t)| <
ε
2
.
Функции cos kt, sin kt (а значит и T (t)) раскладываются в сте-
пенные ряды с радиусом сходимости R = +∞, и, следовательно,
равномерно сходящиеся на каждом отрезке. Поэтому суще-
ствует такой номер n = n(ε), что
max
06t6π
|T (t) − P
n
(t)| <
ε
2
,
где P
n
— многочлен Тейлора функции T .
Из последних двух неравенств получаем, что
max
06t6π
|f
∗
(t) − P
n
(t)| <
ε
2
+
ε
2
= ε,
или (возвращаясь к переменной x)
max
a6x6b
f(x) − P
n
π
x − a
b − a
< ε.
Теорема доказана.
Теорему 4.3 можно переформулировать следующим образом:
     §4. Приближение непрерывных функций многочленами.          21

   Теорема 4.3 (Вейерштрасса). Пусть функция f непре-
рывна на отрезке [a, b]. Тогда для любого ε > 0 существует
такой алгебраический многочлен P , что
                      max |f (x) − P (x)| < ε.
                     a6x6b

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Отобразим линейно отрезок [0, π] на
отрезок [a, b]:
                       b−a
             x=a+            t, 0 6 t 6 π, a 6 x 6 b,
                         π
                                   
и положим f ∗ (t) = f a + b −  π
                                 a t , 0 6 t 6 π. Продолжим ее чет-

ным образом на отрезок [−π, 0] и затем на всю ось с периодом
2π, сохранив обозначение f ∗ . Полученная функция f ∗ : R → R
является 2π-периодической и непрерывной на R. По теореме 4.1
для каждого ε > 0 найдется такой тригонометрический много-
член T , что
                                                          ε
           max |f ∗ (t) − T (t)| 6 max |f ∗ (t) − T (t)| < .
          06t6π                     x∈R                   2
Функции cos kt, sin kt (а значит и T (t)) раскладываются в сте-
пенные ряды с радиусом сходимости R = +∞, и, следовательно,
равномерно сходящиеся на каждом отрезке. Поэтому суще-
ствует такой номер n = n(ε), что
                                                ε
                       max |T (t) − Pn (t)| < ,
                      06t6π                     2
где Pn — многочлен Тейлора функции T .
   Из последних двух неравенств получаем, что
                                           ε ε
                  max |f ∗ (t) − Pn (t)| < + = ε,
                 06t6π                     2 2
или (возвращаясь к переменной x)
                                              
                                         x−a
                  max f (x) − Pn π                < ε.
                 a6x6b                   b−a
   Теорема доказана.
   Теорему 4.3 можно переформулировать следующим образом:

Страницы