Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

22 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье
Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция является
равномерным пределом некоторой последовательности алге-
браических многочленов.
§ 5. Почленное дифференцирование
тригонометрических рядов. Скорость стремления
к нулю коэффициентов и остатка ряда Фурье
Теорема 5.1. Пусть 2π-периодическая функция f непре-
рывна и кусочно-непрерывно дифференцируема и пусть
f(x) =
a
0
2
+
∞
X
k=1
a
k
cos kx + b
k
sin kx
— ее разложение в ряд Фурье. Тогда
f
0
(x) ∼
∞
X
k=1
−ka
k
sin kx + kb
k
cos kx,
т.е. ряд Фурье производной получается из ряда Фурье функции
почленным дифференцированием.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
f
0
(x) ∼
α
0
2
+
∞
X
k=1
α
k
cos kx + β
k
sin kx.
Тогда, интегрируя по частям, получим
α
0
=
1
π
Z
π
−π
f
0
(x) dx =
1
π
[f(π) − f(−π)] = 0,
α
k
=
1
π
Z
π
−π
f
0
(x) cos kx dx =
=
1
π
f(x) cos kx
π
−π
+
k
π
Z
π
−π
f(x) sin kx dx = kb
k
,
β
k
=
1
π
Z
π
−π
f
0
(x) sin kx dx =
=
1
π
f(x) sin kx
π
−π
−
k
π
Z
π
−π
f(x) cos kx dx = −ka
k
.
22            О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

   Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция является
равномерным пределом некоторой последовательности алге-
браических многочленов.

        § 5. Почленное дифференцирование
 тригонометрических рядов. Скорость стремления
   к нулю коэффициентов и остатка ряда Фурье
   Теорема 5.1. Пусть 2π-периодическая функция f непре-
рывна и кусочно-непрерывно дифференцируема и пусть
                         ∞
                     a0 X
             f (x) =   +   ak cos kx + bk sin kx
                     2
                                k=1
— ее разложение в ряд Фурье. Тогда
                       ∞
                       X
             f 0 (x) ∼   −kak sin kx + kbk cos kx,
                          k=1
т.е. ряд Фурье производной получается из ряда Фурье функции
почленным дифференцированием.
     Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
                                 ∞
                          α0 X
                f 0 (x) ∼     +     αk cos kx + βk sin kx.
                           2
                                k=1
   Тогда, интегрируя по частям, получим
                  1 π 0
                    Z
                                   1
          α0 =          f (x) dx = [f (π) − f (−π)] = 0,
                 π −π              π
       Z π
     1
αk =       f 0 (x) cos kx dx =
     π −π
                                   π
                                        k π
                                          Z
                      1
                   = f (x) cos kx     +        f (x) sin kx dx = kbk ,
                      π            −π   π −π
     1 π 0
       Z
βk =       f (x) sin kx dx =
     π −π
                                 π
                                      k π
                                        Z
                    1
                 = f (x) sin kx     −       f (x) cos kx dx = −kak .
                    π            −π   π −π

Страницы