Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 20 стр.

20          О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

   Упражнение 4.1. Показать, что последняя теорема пере-
стает быть верной, если отбросить условие f (−π) = f (π).
   Заметим, что в теореме 4.1 в качестве тригонометрического
многочлена T нельзя (вообще говоря) взять Sn (x; f ) (частичную
сумму ряда Фурье функции f ), поскольку ряд Фурье непрерыв-
ной функции не обязан равномерно сходиться (не обязан даже и
поточечно сходиться) к функции f . Однако, в качестве T можно
взять σn (x; f ) (сумму Фейера функции f ) при достаточно боль-
шом n, где
                       S0 (x; f ) + S1 (x; f ) + · · · + Sn (x; f )
          σn (x; f ) =
                                         n+1
— среднее арифметическое сумм Фурье, как это следует из те-
оремы Фейера:
   Теорема 4.2 (Фейера). Пусть f — 2π-периодическая не-
прерывная функция. Тогда
                 σn (x; f ) ⇒ f (x) при n → ∞.
                          R

   Доказательства этой теоремы приводить не будем.
   Факт сходимости последовательности сумм Фейера в тео-
реме Фейера выражают еще и следующим образом:
   Ряд Фурье 2π-периодической непрерывной функции f сум-
мируем к f (x) методом средних арифметических.
   Метод суммирования ряда средними арифметическими (по-
следовательности его частичных сумм) дает возможность и для
некоторых расходящихся рядов определить понятие их суммы
как предела последовательности этих средних арифметических.
Для сходящегося ряда это понятие совпадает с понятием суммы
ряда.
   Пример 4.1. Расходящийся ряд 1−1+1−1+. . . суммируем
методом средних арифметических к числу 12 .
   С помощью теоремы 4.1 (Вейерштрасса) доказывается и воз-
можность приближения с любой точностью непрерывной на от-
резке функции подходящим алгебраическим многочленом P .