Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье
Тогда из (3.1) и полученных оценок следует, что
sup
x∈[a,b]
|S
n
(x; f ) − f(x)| → 0 при n → ∞
и теорема установлена.
Отметим, что теорема 3.3 расширяет сформулированный ра-
нее принцип локализации, показывая, что для утверждения о
равномерной сходимости ряда Фурье на отрезке [a, b] достаточно
знать поведение этой функции лишь на окрестности (a−ε, b+ε)
этого отрезка при сколь угодно малом ε > 0.
Из теоремы 3.3 следует, например, что ряд
∞
P
k=1
sin kx
k
на лю-
бом отрезке [ε, 2π − ε], ε > 0, равномерно сходится к функции
f(x) =
π − x
2
.
Теорему 3.3 можно обобщить, заменив условие кусочно-
непрерывной дифференцируемости на условие Гёльдера степени
α > 0 на [a
0
, b
0
].
§ 4. Приближение непрерывных функций
многочленами
Определение 4.1. Функция вида
A
0
2
+
n
X
k=1
A
k
cos kx + B
k
sin kx (A
2
n
+ B
2
n
> 0)
называется тригонометрическим многочленом (тригономе-
трическим полиномом) степе ни n.
Теорема 4.1 (Вейерштрасса). Пусть f — 2π-периодичес-
кая непрерывная функция. Тогда для каждого ε > 0 существует
такой тригонометрический многочлен T , что
max
x∈R
|f(x) − T (x)| < ε.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим ε > 0. Пусть τ = {x
j
}
J
j=0
,
x
j
= −π + j
2π
J
, — разбиение отрезка [−π, π]. Построим ло-
маную (вписанную в график функции f ), соединив отрезками
18          О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

     Тогда из (3.1) и полученных оценок следует, что
               sup |Sn (x; f ) − f (x)| → 0 при n → ∞
              x∈[a,b]
и теорема установлена.
   Отметим, что теорема 3.3 расширяет сформулированный ра-
нее принцип локализации, показывая, что для утверждения о
равномерной сходимости ряда Фурье на отрезке [a, b] достаточно
знать поведение этой функции лишь на окрестности (a − ε, b + ε)
этого отрезка при сколь угодно малом ε > 0.
                                              ∞
   Из теоремы 3.3 следует, например, что ряд
                                             P    sin kx на лю-
                                                     k
                                                   k=1
бом отрезке [ε, 2π − ε], ε > 0, равномерно сходится к функции
f (x) = π − x
          2 .
    Теорему 3.3 можно обобщить, заменив условие кусочно-
непрерывной дифференцируемости на условие Гёльдера степени
α > 0 на [a0 , b0 ].

       § 4. Приближение непрерывных функций
                   многочленами
     Определение 4.1. Функция вида
              n
         A0 X
            +   Ak cos kx + Bk sin kx (A2n + Bn2 > 0)
          2
                k=1
называется тригонометрическим многочленом (тригономе-
трическим полиномом) степени n.
   Теорема 4.1 (Вейерштрасса). Пусть f — 2π-периодичес-
кая непрерывная функция. Тогда для каждого ε > 0 существует
такой тригонометрический многочлен T , что
                        max |f (x) − T (x)| < ε.
                        x∈R

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим ε > 0. Пусть τ = {xj }Jj=0 ,
xj = −π + j 2π J , — разбиение отрезка [−π, π]. Построим ло-
маную (вписанную в график функции f ), соединив отрезками

Страницы