Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье
где C
α
не зависит от n.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся формулой (2.1) в
виде
S
n
(x; f ) − f(x) =
1
π
Z
π
−π
f(x + t) − f(x)
2 sin
t
2
sin

n +
1
2
t
dt.
Положим
h
x
(t) =
f(x + t) − f (x)
2 sin
t
2
, λ = λ
n
= n +
1
2
, δ >
8
n
> 2
π
λ
.
Так же, как при доказательстве теоремы Римана об осцил-
ляции, получаем
|S
n
(x; f ) − f(x)| 6
1
2
Z
π
−π
h
x
t +
π
λ
− h
x
(t)
dt =
=
1
2
Z
δ
−δ
. . . dt +
1
2
Z
−δ
−π
+
Z
π
δ
. . . dt = I
δ,n
(x) + J
δ,n
(x). (3.1)
Напомним, что
2
π
t < sin t < t при 0 < t <
π
2
. Заметим, что
при |t| 6 2δ
|h
x
(t)| 6
M
α
|t|
α
2|t|
=
π
2
M
α
|t|
α−1
,
так что
I
δ,n
(x) 6
π
2
M
α
Z
2δ
0
t
α−1
dt =
π
2α
M
α
2
α
δ
α
. (3.2)
Если же |t| > δ, то
h
x
t +
π
λ
− h
x
(t) =
f
x + t +
π
λ
− f(x)
2 sin
t +
π
λ
2
−
f(x + t) − f (x)
2 sin
t
2
=
=
f
x + t +
π
λ
− f(x)
2 sin
t +
π
λ
2
−
1
2
1
sin
t +
π
λ
2
−
1
sin
t
2
×
×(f(x + t) − f (x)), (3.3)
16               О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

где Cα не зависит от n.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся формулой (2.1) в
виде
                       1 π f (x + t) − f (x)
                         Z                              
                                                       1
  Sn (x; f ) − f (x) =                       sin    n+    t dt.
                       π −π      2 sin t     2
                                                       2
Положим
                f (x + t) − f (x)                       1            8   π
     hx (t) =                       ,   λ = λn = n +      ,    δ>      >2 .
                     2 sin 2t                           2            n   λ
    Так же, как при доказательстве теоремы Римана об осцил-
ляции, получаем
                         1 π
                          Z          π
|Sn (x; f ) − f (x)| 6         hx t +       − hx (t) dt =
                         2 −π          λ
                         Z −δ Z π 
     1 δ
      Z
                       1
 =          . . . dt +         +      . . . dt = Iδ,n (x) + Jδ,n (x). (3.1)
     2 −δ              2    −π    δ

   Напомним, что π2 t < sin t < t при 0 < t < π2 . Заметим, что
при |t| 6 2δ
                               Mα |t|α    π
                    |hx (t)| 6         = Mα |t|α−1 ,
                                2|t|      2
так что
                               Z 2δ
                          π                     π
             Iδ,n (x) 6 Mα           tα−1 dt =    M α 2α δ α . (3.2)
                          2     0              2α
     Если же |t| > δ, то
                                        
         π                    f x+t+ π
                                       λ − f (x)            f (x + t) − f (x)
hx t +          − hx (t) =                              −                       =
          λ                              t+ π                    2 sin 2t
                                    2 sin 2 λ
                                                                   
              f x+t+ π
                     λ − f (x)              1      1             1 
         =                              −                −     t ×
                         t+ π                       t+ π
                                                                
                                            2             sin
                    2 sin 2 λ                    sin 2 λ       2

                                                  ×(f (x + t) − f (x)),     (3.3)

Страницы