Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. Равномерная сходимость ряда Фурье. 17
так что
h
x
t +
π
λ
− h
x
(t)
6
M
α
π
λ
α
π
2
t +
π
λ
+
2 sin
π
2λ
π
2
M
α
|t|
α
2
t +
π
λ
|t|
6
6 C
2
M
α
|t|λ
α
,
J
δ,n
(x) 6
Z
π
δ
C
2
M
α
λ
α
dt
t
6
C
2
M
α
λ
α
ln
1
δ
.
Полагая δ =
8
n
и собирая оценки, приходим к утверждению те-
оремы.
Часть теоремы 3.1, касающаяся лишь факта равномерной
сходимости, допускает следующее обобщение.
Теорема 3.3. Пусть 2π-периодическая функция f абсо-
лютно интегрируема на [−π, π]. Пусть на некотором интервале
(a
0
, b
0
) f непрерывна и f
0
кусочно-непрерывна.
Тогда ряд Фурье функции f равномерно сходится к f на
любом отрезке [a, b] ⊂ (a
0
, b
0
).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
8
n
6 δ < δ, [a − 2δ, b + 2δ] ⊂
⊂ (a
0
, b
0
), x ∈ [a, b]. Воспользуемся оценкой (3.1). В силу (3.2)
при α = 1
I
δ,n
(x) 6 C
1
M
1
δ.
Для получения оценки J
δ,n
используем преобразование (3.3)
разности в подынтегральном выражении. Тогда
J
δ,n
(x) 6
1
4πδ
Z
π
−π
f
u +
π
λ
− f(u)
du+
+
π
3
4δ
2
λ
Z
π
−π
|f(u)| du + 2π sup
[a,b]
|f|
!
.
Пусть задано ε > 0. Тогда существует такое достаточно
малое δ = δ(ε) > 0, что sup
[a,b]
I
δ,n
<
ε
2
. При выбранном δ
∃ n
δ
∈ N : sup
[a,b]
J
δ,n
<
ε
2
∀ n > n
δ
.
               §3. Равномерная сходимость ряда Фурье.                          17
так что
                                α
         π                 Mα π
                                λ   π                   π π 2 M |t|α
                                                  2 sin 2λ     α
hx t +         − hx (t) 6                     +                        6
          λ                      2 t+ π               2 t+ π
                                      λ                    λ |t|
                                                                            Mα
                                                                   6 C2          ,
                                                                           |t|λα
                             Z    π
                                       C2 Mα dt   C2 Mα 1
                Jδ,n (x) 6                      6      ln .
                              δ         λα   t     λα    δ
            8 и собирая оценки, приходим к утверждению те-
Полагая δ = n
оремы.
   Часть теоремы 3.1, касающаяся лишь факта равномерной
сходимости, допускает следующее обобщение.
      Теорема 3.3. Пусть 2π-периодическая функция f абсо-
лютно интегрируема на [−π, π]. Пусть на некотором интервале
(a0 , b0 ) f непрерывна и f 0 кусочно-непрерывна.
      Тогда ряд Фурье функции f равномерно сходится к f на
любом отрезке [a, b] ⊂ (a0 , b0 ).
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n  8 6 δ < δ, [a − 2δ, b + 2δ] ⊂
⊂ (a0 , b0 ), x ∈ [a, b]. Воспользуемся оценкой (3.1). В силу (3.2)
при α = 1
                            Iδ,n (x) 6 C1 M1 δ.
    Для получения оценки Jδ,n используем преобразование (3.3)
разности в подынтегральном выражении. Тогда
                 Z π 
               1               π
Jδ,n (x) 6              f u+       − f (u) du+
              4πδ −π           λ
                                            Z π                         !
                                      π3
                                  + 2           |f (u)| du + 2π sup |f | .
                                     4δ λ    −π                 [a,b]

   Пусть задано ε > 0. Тогда существует такое достаточно
малое δ = δ(ε) > 0, что sup Iδ,n < 2ε . При выбранном δ
                             [a,b]
                                                  ε
                  ∃ nδ ∈ N : sup Jδ,n <               ∀ n > nδ .
                                      [a,b]       2

Страницы