Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Приближение непрерывных функций многочленами. 19
последовательно точки (x
j
, f(x
j
)) графика f. Обозначим через
Λ
J
: R → R 2π-периодическую непрерывную функцию, график
которой совпадает на [−π, π] с построенной ломаной. Очевидно,
Λ
J
— кусочно линейная на [−π, π] функция, а значит, и кусочно-
непрерывно дифференцируемая (т.е. Λ
0
J
кусочно-непрерывна).
Непрерывная функция f является равномерно непрерывной.
Поэтому
|f(x
0
) − f(x
00
)| <
ε
4
при |x
0
− x
00
| 6
2π
J
,
если J = J(ε) ∈ N достаточно велико. Тогда
max |f(x) − Λ
J
(x)| <
ε
2
.
Функция Λ
J
удовлетворяет условиям теоремы 2.1, поэтому
ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R. Следовательно,
существует такое n = n(ε), что
max
x∈R
|Λ
j
(x) − S
n
(x; Λ
J
)| <
ε
2
.
Из последних двух неравенств получаем, что
max
x∈R
|f(x) − S
n
(x; Λ
J
)| < ε,
т.е. утверждение теоремы при
T (x) = S
n
(x; Λ
J
).
Теорему 4.1 в эквивалентной форму можно сформулировать
следующим образом:
Теорема 4.1
0
. (Вейерштрасса). Пусть функция f непре-
рывна на отрезке [−π, π] и f(−π) = f (π). Тогда для каждого
ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T , что
max
−π6x6π
|f(x) − T (x)| < ε.
     §4. Приближение непрерывных функций многочленами.             19

последовательно точки (xj , f (xj )) графика f . Обозначим через
ΛJ : R → R 2π-периодическую непрерывную функцию, график
которой совпадает на [−π, π] с построенной ломаной. Очевидно,
ΛJ — кусочно линейная на [−π, π] функция, а значит, и кусочно-
непрерывно дифференцируемая (т.е. Λ0J кусочно-непрерывна).
    Непрерывная функция f является равномерно непрерывной.
Поэтому
                                    ε                       2π
           |f (x0 ) − f (x00 )| <       при |x0 − x00 | 6      ,
                                    4                       J
если J = J(ε) ∈ N достаточно велико. Тогда
                                         ε
                   max |f (x) − ΛJ (x)| < .
                                         2
    Функция ΛJ удовлетворяет условиям теоремы 2.1, поэтому
ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R. Следовательно,
существует такое n = n(ε), что
                                             ε
                 max |Λj (x) − Sn (x; ΛJ )| < .
                 x∈R                         2
   Из последних двух неравенств получаем, что
                     max |f (x) − Sn (x; ΛJ )| < ε,
                     x∈R
т.е. утверждение теоремы при
                           T (x) = Sn (x; ΛJ ).

   Теорему 4.1 в эквивалентной форму можно сформулировать
следующим образом:

   Теорема 4.10 . (Вейерштрасса). Пусть функция f непре-
рывна на отрезке [−π, π] и f (−π) = f (π). Тогда для каждого
ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T , что
                        max |f (x) − T (x)| < ε.
                      −π6x6π

Страницы