Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. Равномерная сходимость ряда Фурье. 15
Отсюда
|J
n
| 6
M
1
n +
1
2
+
nM
1
δ
n +
1
2
=
1 +
π
δ
M
1
1
n +
1
2
.
Полагая δ = δ
n
=
1
n
, получаем, что при n > 2
sup
x∈R
|S
n
(x; f) − f(x)| 6 |I
n
| + |J
n
| 6
C ln n
n
,
где C не зависит от n.
Из последнего неравенства следует утверждение теоремы.
Подчеркнем, что теорема 3.1 не только устанавливает рав-
номерную сходимость ряда Фурье, но и дает оценку быстроты
стремления к нулю остатка этого ряда.
Равномерная сходимость ряда Фурье периодической функ-
ции может быть установлена и при условиях более общих, чем
в теореме 3.1, например, для функций, удовлетворяющих усло-
вию Гёльдера.
Определение. Говорят, что функция f : [a, b] → R удовле-
творяет ус ловию Гёльдера степени α, 0 < α 6 1 (или условию
Липшица в случае α = 1), если ∃ M
α
> 0:
|f(x) − f(y)| 6 M
α
|x − y|
α
∀ x, y ∈ [a, b].
Заметим, что функции, удовлетворяющие условию Гёль-
дера, непрерывны м что класс функций, удовлетворяющих усло-
вию Гёльдера степени α сужается при увеличении α .
Если функция f непрерывна и кусочно-непрерывно дифф е-
ренцируема на [a, b], то она удовлетворяет на [a, b] условию Лип-
шица.
Следующая теорема обобщает теорему 3.1.
Теорема 3.2. Пусть 2π-периодическая функция f удовле-
творяет на R условию Гёльдера степени α, 0 < α 6 1.
Тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R и
sup
x
|S
n
(x; f) − f(x)| 6 C
α
ln n
n
α
∀ n > 2,
            §3. Равномерная сходимость ряда Фурье.                 15

   Отсюда
                  M1       nM       π      1
        |Jn | 6        +   1  = 1+    M1        .
                     1               δ     n + 12
                  n+ 2   δ n + 12
                 1 , получаем, что при n > 2
Полагая δ = δn = n
                                                        C ln n
           sup |Sn (x; f ) − f (x)| 6 |In | + |Jn | 6          ,
           x∈R                                            n
где C не зависит от n.
   Из последнего неравенства следует утверждение теоремы.
   Подчеркнем, что теорема 3.1 не только устанавливает рав-
номерную сходимость ряда Фурье, но и дает оценку быстроты
стремления к нулю остатка этого ряда.
   Равномерная сходимость ряда Фурье периодической функ-
ции может быть установлена и при условиях более общих, чем
в теореме 3.1, например, для функций, удовлетворяющих усло-
вию Гёльдера.
   Определение. Говорят, что функция f : [a, b] → R удовле-
творяет условию Гёльдера степени α, 0 < α 6 1 (или условию
Липшица в случае α = 1), если ∃ Mα > 0:
            |f (x) − f (y)| 6 Mα |x − y|α     ∀ x, y ∈ [a, b].
   Заметим, что функции, удовлетворяющие условию Гёль-
дера, непрерывны м что класс функций, удовлетворяющих усло-
вию Гёльдера степени α сужается при увеличении α.
   Если функция f непрерывна и кусочно-непрерывно диффе-
ренцируема на [a, b], то она удовлетворяет на [a, b] условию Лип-
шица.
   Следующая теорема обобщает теорему 3.1.
   Теорема 3.2. Пусть 2π-периодическая функция f удовле-
творяет на R условию Гёльдера степени α, 0 < α 6 1.
   Тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R и
                                        ln n
           sup |Sn (x; f ) − f (x)| 6 Cα α   ∀ n > 2,
            x                            n

Страницы