Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

14 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье
Теорема 3.1. Пусть f — 2π-периодическая непрерывная и
кусочно-непрерывно дифф еренцируемая функция.
Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно на R
и
sup
x∈R
|S
n
(x; f ) − f(x)| 6 C
ln n
n
при n > 2,
где C не зависит от n.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M
0
= max |f|, M
1
= max |f
0
|,
g
x
(t) B
f(x + t) + f(x − t) − 2f(x)
2 sin
t
2
.
С помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях по-
лучаем, что при 0 < t 6 π
|f(x + t) + f (x − t) − 2f(x)| 6 2M
1
t.
Следовательно,
|g
x
(t)| 6
2M
1
t
2 sin
t
2
6 πM
1
,
d
dt
g
x
(t)
6 |f
0
(x + t) − f
0
(x − t)|
1
2 sin
t
2
+
+|f(x + t) + f (x − t) − 2f(x)|
cos
t
2
4 sin
2
t
2
6
6
πM
1
t
+
π
2
M
1
2t
6
π
2
M
1
t
.
Пусть 0 < δ = δ
n
< π. Как и при доказательстве теоремы 2.1
S
n
(x; f )−f (x) =
1
π
Z
δ
0
+
Z
π
δ
g
x
(t) sin

n +
1
2
t
dt = I
n
+J
n
.
Очевидно, что |I
n
| 6 δM
1
.
C помощью интегрирования по частям имеем
J
n
= −
1
π
g
x
(t)
cos
n +
1
2
t
n +
1
2
π
δ
−
1
π
Z
π
δ
d
dt
g
x
(t)
cos
n +
1
2
t
n +
1
2
dt.
14             О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

   Теорема 3.1. Пусть f — 2π-периодическая непрерывная и
кусочно-непрерывно дифференцируемая функция.
   Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно на R
и
                                       ln n
          sup |Sn (x; f ) − f (x)| 6 C      при n > 2,
          x∈R                           n
где C не зависит от n.
     Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M0 = max |f |, M1 = max |f 0 |,
                           f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)
                 gx (t) B                                 .
                                      2 sin 2t
   С помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях по-
лучаем, что при 0 < t 6 π
                  |f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)| 6 2M1 t.
Следовательно,
                                       2M1 t
                          |gx (t)| 6              6 πM1 ,
                                       2 sin 2t
 d                                          1
    gx (t) 6 |f 0 (x + t) − f 0 (x − t)|         +
 dt                                      2 sin t   2
                                                         cos 2t
               +|f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)|                  6
                                                        4 sin2 2t
                                                   πM1 π 2 M1           π 2 M1
                                                    6     +         6             .
                                                     t         2t           t
    Пусть 0 < δ = δn < π. Как и при доказательстве теоремы 2.1
                      Z δ Z π                            
                   1                                      1
Sn (x; f )−f (x) =          +        gx (t) sin     n+        t dt = In +Jn .
                   π      0      δ                        2
Очевидно, что |In | 6 δM1 .
    C помощью интегрирования по частям имеем
                                                                     
                  cos   n +   1 t π        Z π             cos   n +  1 t
           1                  2          1       d                    2
 Jn = − gx (t)              1
                                     −              gx (t)          1
                                                                              dt.
          π           n+ 2         δ     π δ dt                n+ 2

Страницы