Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 12 стр.

12         О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

казательства) заменить более слабым требованием выполнения
неравенств
         |f (x0 + h) − f (x0 + 0)| 6 M hα ,   ∀ h ∈ (0, δ),
                                        α                     (2.1)
         |f (x0 − h) − f (x0 − 0)| 6 M h ,    ∀ h ∈ (0, δ),
при некоторых α ∈ (0, 1], δ > 0, M > 0. Условия (2.1) назы-
ваются (односторонними) условиями Гёльдера степени α, а при
α = 1 еще и (односторонними) условиями Липшица.
   Следствие 1. Пусть 2π-периодическая функция f абсо-
лютно интегрируема на отрезке [−π, π], и существует f 0 (x0 ).
Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x0 к f (x0 ).
    З а м е ч а н и е 2.2. Непрерывность на R 2π-периоди-
ческой функции не является достаточным условием сходимости
ее ряда Фурье в данной точке x0 . Существуют примеры 2π-пе-
риодической непрерывной на R функций, ряды Фурье которых
расходятся в каждой рациональной точке.
    В теореме 2.1, замечании 2.1 и следствии приводятся доста-
точные условия сходимости ряда Фурье в данной точке. Суще-
ствуют и значительно более общие достаточные условия такой
сходимости.
    З а м е ч а н и е 2.3. Пусть функция f задана и
абсолютно интегрируема на отрезке длиной 2π, например на
[−π, π]. Для выяснения сходимости ее ряда Фурье в концах от-
резка можно применить теорему 2.1, продолжив функцию f (из-
менив при необходимости ее значения на одном или обоих кон-
цах) до 2π-периодической функции. После такого продолжения
точка x = −π будет почти регулярной тогда и только тогда,
когда ∃ f+0 (−π), f−0 (π). В этом случае ряд Фурье функции f
                             f (−π + 0) + f (π − 0)
сходится в точке x0 = −π к       2        .
    Аналогично решается вопрос о сходимости ряда Фурье в
точке x0 = π.
    Пример 2.1. Найдем ряд Фурье функции f (x) = π − x
                                                   2 ,x∈
∈ [0, 2π].