Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. Равномерная сходимость ряда Фурье. 13
Пусть
˜
f: R → R — 2π-периодическая функция,
˜
f(x) = f (x)
при 0 < x < 2π,
˜
f(0) = 0. Как мы знаем, коэффициенты Фурье
функции
˜
f можно вычислить по формулам (1.2) либо отличаю-
щихся от них сдвигом отрезка интегрирования. В силу нечет-
ности
˜
f, a
k
= 0 ∀ k ∈ N
0
. Интегрируя по частям, получаем
b
k
=
1
π
Z
2π
0
π − x
2
sin kx dx =
= −
1
π
(π − x)
cos kx
x
2π
0
−
1
2πk
Z
2π
0
cos kx dx =
1
k
.
Заметим, что всякая точка x ∈ R является регулярной точ-
кой функции
˜
f. Следовательно,
˜
f(x) =
∞
X
k=1
sin kx
k
∀ x ∈ R. (2.2)
Итак, на отрезке [0, 2π] сумма ряда Фурье
˜
f функции f со-
впадает с f на интервале (0, 2π) и отличается от f в концах
интервала.
§ 3. Равномерная сходимость ряда Фурье
Определение 3.1. Функцию f называют кусочно-непре-
рывно дифференцируемой на отрезке [a, b], если существует та-
кое разбиение {a
i
}
m
i=0
отрезка [a, b] (a = a
0
< a
1
< a
2
< · · · <
< b
m
= b), что:
1.
◦
Производная f
0
непрерывна на каждом интервале
(a
i−1
, a
i
);
2.
◦
Существуют односторонние пределы f
0
(a
i−1
+ 0), f
0
(a
i
−
− 0) для i = 1, 2, . . . , m.
2π-периодическую функцию будем называть кусочно-непре-
рывной (кусочно-непрерывно дифференцируемой), если она ку-
сочно-непрерывна (кусочно-непрерывно дифференцируема) на
отрезке [−π, π].
            §3. Равномерная сходимость ряда Фурье.               13

   Пусть f˜: R → R — 2π-периодическая функция, f˜(x) = f (x)
при 0 < x < 2π, f˜(0) = 0. Как мы знаем, коэффициенты Фурье
функции f˜ можно вычислить по формулам (1.2) либо отличаю-
щихся от них сдвигом отрезка интегрирования. В силу нечет-
ности f˜, ak = 0 ∀ k ∈ N0 . Интегрируя по частям, получаем
     1 2π π − x
       Z
bk =               sin kx dx =
     π 0       2
                               cos kx 2π
                                              Z 2π
                      1                     1                 1
                 = − (π − x)             −         cos kx dx = .
                     π           x 0       2πk 0              k
   Заметим, что всякая точка x ∈ R является регулярной точ-
кой функции f˜. Следовательно,
                             ∞
                             X sin kx
                   f˜(x) =              ∀ x ∈ R.               (2.2)
                                   k
                             k=1

   Итак, на отрезке [0, 2π] сумма ряда Фурье f˜ функции f со-
впадает с f на интервале (0, 2π) и отличается от f в концах
интервала.

       § 3. Равномерная сходимость ряда Фурье
   Определение 3.1. Функцию f называют кусочно-непре-
рывно дифференцируемой на отрезке [a, b], если существует та-
кое разбиение {ai }m  i=0 отрезка [a, b] (a = a0 < a1 < a2 < · · · <
< bm = b), что:
    1.◦ Производная f 0 непрерывна на каждом интервале
        (ai−1 , ai );
    2.◦ Существуют односторонние пределы f 0 (ai−1 + 0), f 0 (ai −
        − 0) для i = 1, 2, . . . , m.
   2π-периодическую функцию будем называть кусочно-непре-
рывной (кусочно-непрерывно дифференцируемой), если она ку-
сочно-непрерывна (кусочно-непрерывно дифференцируема) на
отрезке [−π, π].

Страницы