Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2. Сходимость ряда Фурье. 11
точка f (в частности, ес ли f непрерывна в точке x
0
), то ряд
Фурье в точке x
0
сходится к f(x
0
).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x
0
— почти регулярная точка
функции f. Из формулы (1.8) с помощью (1.6) получаем
S
n
(x; f) −
f(x
0
− 0) + f (x
0
+ 0)
2
=
=
1
π
Z
π
0
D
n
(t)[f(x
0
+ t) + f (x
0
− t)] dt−
−
f(x
0
+ 0) + f (x
0
− 0)
2
2
π
Z
π
0
D
n
(t) dt =
=
1
π
Z
π
0
f(x
0
+ t) + f (x
0
− t) − 2f (x
0
)
2 sin
t
2
sin

n +
1
2
t
dt =
=
1
π
Z
π
0
f(x
0
+ t) − f (x
0
+ 0)
t
+
+
f(x
0
− t) − f (x
0
− 0)
t
t
2 sin
t
2
sin
n +
1
2
t
dt.
Дробь
t
2 sin
t
2
, доопределенная единицей при t = 0, явля-
ется непрерывной на [0, π] функцией. Дробь
f(x
0
+ t) − f(x
0
+ 0)
t
является абсолютно интегрируемой на [0, π] функцией, по-
скольку таковой является ее числитель, и при t → 0+0 она имеет
конечный предел. То же относится и ко второй дроби в квадрат-
ной скобке. Следовательно, множитель при sin

n +
1
2
t
в по-
дынтегральном выражении последнего интеграла представляет
собой абсолютно интегрируемую на [0, π] функцию. По теореме
Римана об осцилляции, последний интеграл стремится к нулю
при n → ∞, т.е.
S
n
(x
0
; f) →
f(x
0
− 0) − f (x
0
+ 0)
2
при n → ∞.
З а м е ч а н и е 2.1. Требование существования f
0
+
+(x
0
), f
0
−
(x
0
) в условии теоремы можно (как это видно из до-
                   §2. Сходимость ряда Фурье.                        11

точка f (в частности, если f непрерывна в точке x0 ), то ряд
Фурье в точке x0 сходится к f (x0 ).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x0 — почти регулярная точка
функции f . Из формулы (1.8) с помощью (1.6) получаем
          f (x0 − 0) + f (x0 + 0)
Sn (x; f ) −                        =
                   Z π2
                1
             =         Dn (t)[f (x0 + t) + f (x0 − t)] dt−
                π 0
               f (x0 + 0) + f (x0 − 0) 2 π
                                            Z
            −                                    Dn (t) dt =
                           2              π 0
      Z π                                                    
    1     f (x0 + t) + f (x0 − t) − 2f (x0 )                1
  =                                            sin     n+      t dt =
    π 0                 2 sin 2t                            2
                     1 π f (x0 + t) − f (x0 + 0)
                       Z 
                 =                                    +
                     π 0                t
                                                                
                 f (x0 − t) − f (x0 − 0)       t                1
              +                                       sin n +      t dt.
                             t              2 sin 2t            2

    Дробь     t , доопределенная единицей при t = 0, явля-
          2 sin 2t
                                           f (x0 + t) − f (x0 + 0)
ется непрерывной на [0, π] функцией. Дробь            t
является абсолютно интегрируемой на [0, π] функцией, по-
скольку таковой является ее числитель, и при t → 0+0 она имеет
конечный предел. То же относится и ко второй    дроби в 
                                                          квадрат-
                                                            
                                                        1
ной скобке. Следовательно, множитель при sin n + 2 t в по-
дынтегральном выражении последнего интеграла представляет
собой абсолютно интегрируемую на [0, π] функцию. По теореме
Римана об осцилляции, последний интеграл стремится к нулю
при n → ∞, т.е.
                       f (x0 − 0) − f (x0 + 0)
        Sn (x0 ; f ) →                         при n → ∞.
                                  2
   З а м е ч а н и е 2.1. Требование существования f+0
+(x0 ), f−0 (x0 ) в условии теоремы можно (как это видно из до-

Страницы