Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье
Теорема 1.2 (принцип локализации). Пусть 2π-перио-
дическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [−π, π],
x
0
∈ R, 0 < δ < π. Пределы
lim
n→∞
S
n
(x; f ),
lim
n→∞
1
π
Z
δ
0
f(x
0
+ t) + f (x
0
− t)
2 sin
t
2
sin

n +
1
2
t
dt
существуют или не существуют одновременно и совпадают в
случае их существования.
Мы видим, таким образом, что сходимость ряда Фурье
функции f в точке x
0
и величина его суммы в случае сходи-
мости определяются поведением функции f на интервале (x
0
−
− δ, x
0
+ δ), т.е. в сколь угодно малой окрестности точки x
0
.
§ 2. Сходимость ряда Фурье
Пусть x
0
— точка разрыва первого рода функции f. Введем
следующие обобщения односторонних производных:
f
0
+
(x
0
) = lim
h→0+0
f(x
0
+ h) − f (x
0
+ 0)
h
,
f
0
−
(x
0
) = lim
h→0+0
f(x
0
− h) − f (x
0
− 0)
−h
,
которые также будем называть односторонними производными.
Определение 2.1. Точку x
0
назовем почти регулярной
точкой функции f , если существуют f (x
0
+ 0), f(x
0
− 0), f
0
+
+(x
0
), f
0
−
(x
0
). Если при этом f (x
0
) =
f(x
0
− 0) + f (x
0
+ 0)
2
, то x
0
назовем регулярной точкой функции f.
Если функция f непрерывна в точке x
0
и имеет в ней правую
и левую производные, то x
0
— регулярная точка функции f .
Теорема 2.1. Пусть 2π-периодическая функция f абсо-
лютно интегрируема на отрезке [−π, π], и x
0
— ее почти ре-
гулярная точка. Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке
x
0
к
f(x
0
− 0) + f (x
0
+ 0)
2
. Если же при этом x
0
— регулярная
10           О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

   Теорема 1.2 (принцип локализации). Пусть 2π-перио-
дическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [−π, π],
x0 ∈ R, 0 < δ < π. Пределы
                                  lim Sn (x; f ),
                                 n→∞
                     δ                                           
                         f (x0 + t) + f (x0 − t)
                 Z
             1                                                1
         lim                           sin                 n+      t dt
        n→∞ π    0         2 sin 2t                           2
существуют или не существуют одновременно и совпадают в
случае их существования.
   Мы видим, таким образом, что сходимость ряда Фурье
функции f в точке x0 и величина его суммы в случае сходи-
мости определяются поведением функции f на интервале (x0 −
− δ, x0 + δ), т.е. в сколь угодно малой окрестности точки x0 .

                 § 2. Сходимость ряда Фурье
   Пусть x0 — точка разрыва первого рода функции f . Введем
следующие обобщения односторонних производных:
                             f (x0 + h) − f (x0 + 0)
            f+0 (x0 ) = lim                          ,
                       h→0+0            h
                             f (x0 − h) − f (x0 − 0)
            f−0 (x0 ) = lim                          ,
                       h→0+0           −h
которые также будем называть односторонними производными.
   Определение 2.1. Точку x0 назовем почти регулярной
точкой функции f , если существуют f (x0 + 0), f (x0 − 0), f+0
                                                   f (x − 0) + f (x + 0)
+(x0 ), f−0 (x0 ). Если при этом f (x0 ) = 0
                                             2
                                                 0
                                                       , то x0
назовем регулярной точкой функции f .
   Если функция f непрерывна в точке x0 и имеет в ней правую
и левую производные, то x0 — регулярная точка функции f .
   Теорема 2.1. Пусть 2π-периодическая функция f абсо-
лютно интегрируема на отрезке [−π, π], и x0 — ее почти ре-
гулярная точка. Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке
       f (x0 − 0) + f (x0 + 0)
x0 к              2            . Если же при этом x0 — регулярная

Страницы