Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

8 О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье
Следствие 1. Коэффициенты Фурье (1.2) абсолютно инте-
грируемой на отрезке [−π, π] функции стремятся к нулю при
k → ∞.
Пусть 2π-периодическая функция f абсолютно интегриру-
ема на [−π, π]. Частичная сумма ряда Фурье
S
n
(x; f ) B
a
0
2
+
n
X
k=1
a
k
cos kx + b
k
sin kx
называется суммой ряда Фурье порядка n ∈ N
0
функции f. При-
ведем ее к компактному виду, удобному для дальнейших иссле-
дований.
Назовем ядром Дирихле функцию
D
n
(x) B
1
2
+
n
X
k=1
cos kx =
sin
n +
1
2
x
2 sin
x
2
. (1.5)
Последнее равенство (правая часть понимается при x =
= 2mπ, m ∈ Z, как предел частного при x → 2mπ) устана-
вливается следующим образом. При x 6= 2mπ
D
n
(x) =
1
2 sin
x
2
sin
x
2
+
n
X
k=1
2 sin
x
2
cos kx
!
=
=
1
2 sin
x
2
sin
x
2
+
n
X
k=1
sin
2k + 1
2
x − sin
2k − 1
2
x
!
=
=
sin
n +
1
2
x
2 sin
x
2
.
Ядро Д ирихле (1.5) является, очевидно, 2π-периодической,
четной, непрерывной функцией,
max |D
n
(x)| = D
n
(0) = n +
1
2
,
2
π
Z
π
0
D
n
(x) dx =
1
π
Z
π
−π
D
n
(x) dx = 1. (1.6)
8          О. В. Бесов. Тригонометрические ряды Фурье

   Следствие 1. Коэффициенты Фурье (1.2) абсолютно инте-
грируемой на отрезке [−π, π] функции стремятся к нулю при
k → ∞.
   Пусть 2π-периодическая функция f абсолютно интегриру-
ема на [−π, π]. Частичная сумма ряда Фурье
                                 n
                          a0 X
             Sn (x; f ) B   +  ak cos kx + bk sin kx
                          2
                                k=1
называется суммой ряда Фурье порядка n ∈ N0 функции f . При-
ведем ее к компактному виду, удобному для дальнейших иссле-
дований.
   Назовем ядром Дирихле функцию
                                               
                         n          sin   n + 1 x
                    1   X                     2
            Dn (x) B +     cos kx =           x   .     (1.5)
                    2                   2 sin 2
                          k=1
    Последнее равенство (правая часть понимается при x =
= 2mπ, m ∈ Z, как предел частного при x → 2mπ) устана-
вливается следующим образом. При x 6= 2mπ
                         n
                                          !
             1       x X          x
Dn (x) =          sin +     2 sin cos kx =
         2 sin x2    2            2
                        k=1
                         n
                                                       !
            1        x X        2k + 1         2k − 1
       =          sin +     sin        x − sin        x =
         2 sin x2    2             2             2
                        k=1
                                                               
                                                   sin n + 12 x
                                                 =                .
                                                       2 sin x2
   Ядро Дирихле (1.5) является, очевидно, 2π-периодической,
четной, непрерывной функцией,
                                             1
                max |Dn (x)| = Dn (0) = n + ,
                                             2
             2 π              1 π
              Z                 Z
                 Dn (x) dx =         Dn (x) dx = 1.   (1.6)
             π 0              π −π

Страницы