Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. Определение ряда Фурье и принцип локализации. 7
Мы будем изучать в первую очередь вопросы сходимости
ряда Фурье в данной точке, на отрезке, равномерной сходимости
на всей числовой оси и т.п. Наибольший интерес представляет
случай, когда ряд Фурье функции f сходится в том или ином
смысле к функции f . В этом случае говорят, что функция f
разложена в ряд Фурье.
Теорема 1.1 (Римана об осцилляции). Пусть функция
f абсолютно интегрируема на конечном или бесконечном интер-
вале (a, b). Тогда
lim
λ→∞
Z
b
a
f(x) cos λx dx = lim
λ→∞
Z
b
a
f(x) sin λx dx = 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности будем счи-
тать, что (a, b) = (−∞, +∞) (если это не так, то функцию f
можно доопределить нулем на (−∞, +∞) \ (a, b)). Известно, что
всякая абсолютно интегрируемая на (−∞, ∞) функция f явля-
ется непрерывной по сдвигу в среднем, т.е.
Z
+∞
−∞
|f(x + h) − f (x)| dx → 0 при h → 0. (1.4)
Это свойство можно доказать, аппроксимируя f в среднем
непрерывной финитной функцией.
Заменив переменную x на x +
π
λ
, получаем:
I(λ) B
Z
+∞
−∞
f(x) cos λx dx = −
Z
+∞
−∞
f
x +
π
λ
cos λx dx =
= −
1
2
Z
+∞
−∞
h
f
x +
π
λ
− f (x)
i
cos λx dx.
В силу (1.4)
|I(λ)| 6
1
2
Z
+∞
−∞
f
x +
π
λ
− f (x)
dx → 0 (λ → ∞).
Для интеграла
R
+∞
−∞
f(x) sin λx dx доказательство аналогично.
       §1. Определение ряда Фурье и принцип локализации.         7

   Мы будем изучать в первую очередь вопросы сходимости
ряда Фурье в данной точке, на отрезке, равномерной сходимости
на всей числовой оси и т.п. Наибольший интерес представляет
случай, когда ряд Фурье функции f сходится в том или ином
смысле к функции f . В этом случае говорят, что функция f
разложена в ряд Фурье.

   Теорема 1.1 (Римана об осцилляции). Пусть функция
f абсолютно интегрируема на конечном или бесконечном интер-
вале (a, b). Тогда
             Z b                       Z b
        lim      f (x) cos λx dx = lim     f (x) sin λx dx = 0.
       λ→∞ a                    λ→∞ a

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности будем счи-
тать, что (a, b) = (−∞, +∞) (если это не так, то функцию f
можно доопределить нулем на (−∞, +∞) \ (a, b)). Известно, что
всякая абсолютно интегрируемая на (−∞, ∞) функция f явля-
ется непрерывной по сдвигу в среднем, т.е.
           Z +∞
                   |f (x + h) − f (x)| dx → 0 при h → 0.      (1.4)
           −∞

   Это свойство можно доказать, аппроксимируя f в среднем
непрерывной финитной функцией.
   Заменив переменную x на x + π   λ , получаем:
       Z +∞                     Z +∞ 
                                             π
I(λ) B      f (x) cos λx dx = −        f x+      cos λx dx =
        −∞                       −∞          λ
                             1 +∞ h 
                              Z
                                            π         i
                        =−            f x+     − f (x) cos λx dx.
                             2 −∞           λ
   В силу (1.4)
             1 +∞ 
               Z
                            π
    |I(λ)| 6         f x+      − f (x) dx → 0 (λ → ∞).
             2 −∞           λ
                R +∞
Для интеграла −∞ f (x) sin λx dx доказательство аналогично.

Страницы