Тригонометрические ряды Фурье. Бесов О.В. - 5 стр.

       §1. Определение ряда Фурье и принцип локализации.      5

и этот ряд сходится равномерно на R. Тогда
                   1 π
                     Z
              a0 =       f (x) dx,
                   π −π
                   1 π
                     Z
              ak =       f (x) cos kx dx,                  (1.2)
                   π −π
                     Z π
                   1
              bk =       f (x) sin kx dx, k ∈ N.
                   π −π


    Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f непрерывна на
[−π, π] как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных
функций. Домножим равенство (1.1) почленно на cos nx или
sin nx (n ∈ N). Полученные ряды также будут сходиться рав-
номерно и их почленное интегрирование с использованием свой-
ства ортогональности функций системы дает
          Z π                    Z π
               f (x) cos nx dx =     an cos2 nx dx = πan ,
            −π                    −π
           Z π                   Z π
               f (x) sin nx dx =     bn sin2 nx dx = πbn ,
           −π                  −π

откуда получаем вторую и третью формулы из (1.2). Пер-
вая из формул (1.2) получается почленным интегрированием
ряда (1.1).
   Заметим, что члены тригонометрического ряда являются
определенными на действительной оси 2π-периодическими
функциями. Поэтому и сумма тригонометрического ряда (если
этот ряд сходится) также является 2π-периодической функцией.
   Определение 1.2. Пусть f — 2π-периодическая функ-
ция, абсолютно интегрируемая на отрезке [−π, π]. Тригономе-
трический ряд с коэффициентами ak , bk , определенными фор-
мулами (1.2), называется (тригонометрическим) рядом Фурье
функции f , а коэффициенты ak , bk — коэффициентами ряда
Фурье функции f .